関数y = sin³x + cos³x + √3の増減表やグラフについて理解することは、微積分の学習において重要です。この関数の振る舞いを正確に把握するためには、増減表を作成し、グラフを描くことが必要です。本記事では、関数の増減表の作り方やグラフがどのようになるかを解説します。
1. 関数y = sin³x + cos³x + √3の特徴
まず、この関数の構造を理解しましょう。y = sin³x + cos³x + √3は、sinxとcosxの3乗の和に定数√3を加えた式です。sinxとcosxは周期関数であり、それぞれの周期は2πです。この関数は、sinxとcosxが周期的に変化するため、全体としても周期的なグラフを描きます。
関数の増減表を作成する前に、まずはこの関数の微分を行い、増減の範囲を特定する必要があります。
2. 微分による増減の判定
関数y = sin³x + cos³x + √3を微分すると、まずsin³xとcos³xの微分を行います。微分結果は以下のようになります。
dy/dx = 3sin²x * cosx – 3cos²x * sinx
この式を整理すると、dy/dx = 3sinx * cosx * (sinx – cosx)となります。この微分式が0になる点で、関数の増減が変化します。
dy/dx = 0となるための条件は、sinx * cosx = 0 または sinx – cosx = 0です。これらを解くことで、関数の増減を判定するための重要なポイントを求めることができます。
3. 増減表の作成
増減表を作成するためには、微分した式の符号を調べ、増加区間と減少区間を特定します。先程の条件から、sinx * cosx = 0となるのはx = 0, π/2, π, 3π/2, 2πなどであり、sinx – cosx = 0となるのはx = π/4, 5π/4となります。
これらの点を基に、増減表を作成します。xの範囲0 <= x < +πにおける増減を調べると、次のような増減表になります。
| xの範囲 | 符号（dy/dx） | 増減の傾向 |
|---|---|---|
| [0, π/4) | ＋ | 増加 |
| [π/4, 5π/4) | － | 減少 |
| [5π/4, π] | ＋ | 増加 |
4. グラフの形状
y = sin³x + cos³x + √3のグラフは、周期的であり、x = 0からx = πまでの範囲では、まず増加し、その後減少し、再度増加します。y軸方向には√3が加算されているため、グラフは上下にシフトしています。
具体的には、x = 0で関数の値が√3、x = π/2で最大値を迎え、その後x = πで最小値になります。グラフ全体としては、周期性を持った波形になります。
5. まとめ：y = sin³x + cos³x + √3 の増減表とグラフ
y = sin³x + cos³x + √3の増減表を作成し、微分を用いて増減区間を特定することで、関数の動きが理解できます。また、グラフの形状は周期的な波形を描き、特にx = 0からx = πの範囲で増減が確認できます。この関数の特徴をしっかり把握することで、他の関数と比較してもより理解が深まります。
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