3次方程式に関する問題は、数学において非常に基本的かつ重要なテーマです。この問題では、与えられた条件に基づいて解の関係を示すことが求められています。また、(2)の問題は、既存の情報を活用して新たな情報を導き出す問題であり、数学的な論理と計算力を試す問題となります。ここでは、(1)と(2)の解法を丁寧に解説します。
(1) α + β + γ = -a、αβ + βγ + γα = b、αβγ = -c が成り立つことの証明
3次方程式 x³ + ax² + bx + c = 0 の解を α, β, γ としたとき、まずこの方程式の一般的な形と解の性質を確認します。3次方程式の解と係数との関係は、ヴィエタの公式によって与えられます。具体的には、以下の関係が成り立ちます。
α + β + γ = -a
αβ + βγ + γα = b
αβγ = -c
この関係は、係数比較によって簡単に導くことができます。まず、x³ + ax² + bx + c = 0 の形を (x – α)(x – β)(x – γ) に展開することで、各項の係数が対応します。展開の結果、上記のヴィエタの公式が得られます。
(2) α + β + γ = 1、α² + β² + γ² = 3、α³ + β³ + γ³ = 7 のとき α⁴ + β⁴ + γ⁴ の値を求める
(1) の問題が解けた後、(2) の問題に進みます。まず、与えられた条件を使って α + β + γ の値や α² + β² + γ² の値を活用して、α⁴ + β⁴ + γ⁴ の値を求める方法を見ていきます。
α² + β² + γ² は、以下の式で表せます。
α² + β² + γ² = (α + β + γ)² – 2(αβ + βγ + γα)
また、α³ + β³ + γ³ は次の式で表されます。
α³ + β³ + γ³ = (α + β + γ)((α + β + γ)² – 3(αβ + βγ + γα)) + 3αβγ
これらを用いて、最終的に α⁴ + β⁴ + γ⁴ を計算することができます。具体的な計算を通じて、(2) の問題における解法に到達します。
計算の流れとその結果
具体的な計算の流れに従い、与えられた情報を元に α⁴ + β⁴ + γ⁴ を求めます。このプロセスでは、各式を整理し、与えられた値に代入することで簡単に解が得られます。最終的に、α⁴ + β⁴ + γ⁴ の値を導き出します。
まとめ
3次方程式の問題は、基本的な理論と計算力を使って解くことができます。ヴィエタの公式を使った証明が (1) の問題を解く鍵となり、(2) の問題では与えられた条件を利用して論理的に解答を導き出しました。これらの問題は、数学における重要な基礎となり、より高度な問題を解くための力を養うことができます。
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