標本平均と母平均、標本標準偏差と母標準偏差の違いの解説

統計学において、「標本平均」と「母平均」や、「標本標準偏差」と「母標準偏差」の関係は非常に重要です。特に、なぜ標本平均の平均は母平均と等しいのに、標本平均の標準偏差は母標準偏差と異なるのかという点については、統計学を学ぶ上での鍵となる理解です。この記事では、この違いの理由についてわかりやすく解説します。

1. 標本平均と母平均の関係

まず、標本平均と母平均の関係を簡単に説明します。標本平均とは、母集団から抽出した標本の平均を指します。母平均は母集団全体の平均です。標本を十分に多く取れば、標本平均の平均は母平均に非常に近くなります。この関係は「不偏性」と呼ばれ、標本平均の平均は母平均と等しいことが知られています。

2. 標本標準偏差と母標準偏差の違い

次に、標本標準偏差と母標準偏差についてです。標本標準偏差は、標本のデータから計算した標準偏差で、母集団の標準偏差を推定するための近似値として使用されます。しかし、標本のサイズが小さいと、標本標準偏差は母標準偏差よりも小さくなる傾向があります。この違いは、標本が母集団全体を代表しきれないため、標本データが母集団のばらつきに比べて過小評価されるからです。

3. 標本標準偏差を母標準偏差に一致させる方法

標本標準偏差が母標準偏差と一致しない理由は、標本から得られたデータが完全に母集団を代表しないためです。このため、標本標準偏差を求める際には、「自由度補正」として標本数から1を引いて計算します。これによって、標本標準偏差が母標準偏差により近づきます。

4. まとめ

標本平均は母平均と等しくなりますが、標本標準偏差は母標準偏差と異なるのは、標本が母集団を完全に反映していないためです。標本数が大きくなるほど、標本平均と母平均の差は小さくなり、標本標準偏差と母標準偏差の差も縮まります。この違いを理解することは、統計分析を行う上で非常に重要です。