複素数 z に関する問題の解法：式の導出と偏角の最大化

この問題では、複素数 z が与えられた方程式を満たすときに、いくつかの計算を行い、答えを求めることが求められています。具体的には、z の高次の項を使った式の値を求め、また偏角の最大化を求める問題です。ここではその計算方法と解法を詳しく説明します。

1. 方程式 z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0 の解

まず、この方程式を解くには、複素数の単位円に関連する知識が必要です。実は、この方程式は 1 を除くすべての 7 次の単位根を表しています。方程式の右辺が 0 であるため、この式の解は複素数平面上で、1 の単位根にあたる複素数 z です。

したがって、z は 7 次の単位根の一つであり、z^7 = 1 となります。このとき、z^7 の値は 1 になります。よって、答え 1 は、z^7 = 1 です。

2. 式 (1+z)(2+2z^2)(3+3z^3)(4+4z^4)(5+5z^5)(6+6z^6) の値

次に、この複雑な式の値を求めるためには、まず各項を整理します。各項に共通するパターンが見られます。たとえば、(1 + z), (2 + 2z^2), (3 + 3z^3) などです。

実際に計算を進めると、各項における z のべき乗が 7 次単位根の性質により、互いに相殺される部分があります。したがって、最終的にこの式の値は、一定の値に収束します。

3. 偏角 arg(z) の最大化

次に、問題の最後で要求されている偏角 arg(z) を最大化する方法について考えます。|2 − z + z¯| を最大化するためには、z の複素数としての形状を利用します。

z の偏角 arg(z) を最大化するためには、z と z¯ の位置関係や、|2 − z + z¯| の形状を解析する必要があります。特に、z の偏角が −π/2 ≦ arg(z) ≦ π の範囲内で最大化される場所を求めます。具体的には、z の位置とそれに対応する最大値を視覚的に解析することで、答えを得ることができます。

まとめ：解法の要点

この問題では、複素数 z の高次の項を使った式の値や、z の偏角を最大化する方法を問われています。z の性質として、z は 7 次単位根であり、z^7 = 1 となります。また、式の計算においては、単位根の性質をうまく利用することで簡略化が可能です。最後に、偏角の最大化においては、z と z¯ の関係を解析することで答えを導くことができます。