複素数の積Zn＝∏(1+i/√k)の絶対値|Zn|を一般項で求める方法【大学入試・小樽商大】

大学入試の複素数分野では、複雑そうに見える積の絶対値を、性質を使って一気に簡単化する問題が頻出します。本記事では、Zn＝(1+i)(1+(i/√2))(1+(i/√3))…(1+(i/√n))の形で定義される数列について、|Zn|を一般のnで求める考え方を整理します。

絶対値計算の基本方針

複素数の積の絶対値は、各因子の絶対値の積に等しいという性質があります。

|z1·z2·…·zn|＝|z1||z2|…|zn|

したがって、Zn全体を直接扱うのではなく、各項(1+i/√k)の絶対値を個別に計算すればよいことになります。

複素数1+i/√kの絶対値は、定義より次のようになります。

|1+i/√k|＝√(1²+(1/√k)²)=√(1+1/k)

すべての項が同様の形になるため、積全体は次の形に整理できます。

|Zn|＝∏(k=1→n)√(1+1/k)=√(∏(k=1→n)(1+1/k))

ここで重要なのは、中の積が次のように変形できる点です。

1+1/k=(k+1)/k

これを用いると積は連鎖的に約分され、望ましい形になります。

∏(k=1→n)(k+1)/k=((2/1)×(3/2)×…×((n+1)/n))=n+1

以上より、Znの絶対値は次のように定まります。

|Zn|＝√(n+1)

一見すると複雑な複素数の積でも、「絶対値の積＝積の絶対値」という基本性質と、分数の積がもつ連鎖的な約分を使えば、非常にコンパクトな結果にたどり着きます。本問では、|Zn|はnに対して√(n+1)と単純に表され、入試問題としても美しい典型例といえます。