関数f(x)＝x³-3x²+1（0≦x≦a）について、最大値とその時のxの値を求める問題です。今回はその解法を分かりやすく解説します。まずは関数の理解から始め、導関数を使って最大値を求める方法を見ていきましょう。
関数の理解と問題の整理
与えられた関数は f(x) = x³ – 3x² + 1 で、区間は 0 ≦ x ≦ a です。この関数は、三次関数であり、グラフは曲線を描きます。最大値を求めるには、まずその関数が増加しているのか減少しているのかを確認する必要があります。
最大値を求めるためには、まず導関数を計算して、増減を調べます。それにより、最大値が発生するxの値を求めることができます。
導関数の計算
関数 f(x) = x³ – 3x² + 1 の導関数を計算します。導関数は、関数の変化率を示すもので、xの値が増加するにつれて関数がどのように変化するかを示します。
まず、f'(x) を求めます。
f'(x) = 3x² – 6x
これで導関数が得られました。この導関数が 0 になる点を求めることで、関数が増加から減少に転じるポイントを見つけることができます。
増減表を使った解法
次に、導関数 f'(x) = 3x² – 6x = 3x(x – 2) が 0 になる点を求めます。この式が 0 になるのは、x = 0 または x = 2 の時です。
これらの x の値が critical point（臨界点）となります。次に、増減表を使って、この点が最大値か最小値かを判定します。
増減表を作成し、x = 0 と x = 2 の周りで導関数の符号を調べます。
- x < 0 の場合、f'(x) は正となり、関数は増加しています。
- 0 < x < 2 の場合、f'(x) は負となり、関数は減少します。
- x > 2 の場合、f'(x) は正となり、再び関数は増加します。
これにより、x = 2 のときに最大値が発生することが分かります。
最大値の計算とxの値
最大値は x = 2 のときに発生します。したがって、このときの f(x) の値を求めます。
f(2) = 2³ – 3(2²) + 1 = 8 – 12 + 1 = -3
したがって、関数 f(x) の最大値は -3 で、その時の x の値は x = 2 です。
まとめ
この問題では、三次関数の最大値を求めるために、まず導関数を使って増減を調べ、臨界点を見つけました。増減表を使うことで、x = 2 が最大値を取る点であることを確認しました。最終的に、最大値は -3 で、そのときの x の値は x = 2 となります。
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