微分方程式の解法における場合分けとx≠0の考慮

微分方程式を解く際、右辺がゼロかそうでないかで場合分けをし、ゼロでなければ両辺を右辺で割ることがあります。この時、xで両辺を割る過程で、xがゼロでないことを示す必要がないのはなぜか、という疑問について解説します。

場合分けの基本的な考え方

微分方程式を解く際、まず最初に右辺がゼロか非ゼロかで場合分けを行います。右辺がゼロであれば、解は簡単に求まる場合がありますが、右辺がゼロでない場合、式を整理して解を求めるために変形を行います。

例えば、ある微分方程式が次のように与えられた場合。

dy/dx = f(x)となるとき、f(x)がゼロでない場合はその式を変形する必要があります。

右辺がゼロでない場合、両辺をxで割る操作を行います。この時、xがゼロでないことを示さなくてもよい理由は、すでに右辺がゼロでない場合にその操作が前提とされているからです。つまり、ゼロで割ること自体が定義的に成立しないため、問題自体が「x≠0」という前提で進んでいることになります。

もしx=0のときに割り算が発生すると、数学的に不定の状態になりますが、この場合、問題設定の段階でx≠0という制約が暗黙的に与えられているため、x=0のケースについては別途考慮する必要があります。

例えば、微分方程式が次のように与えられた場合。

dy/dx = 2x / (x² – 1)

この式を解くためには、両辺をx² – 1で割る必要があります。しかし、x² – 1 = 0となるx = ±1の点では割り算が定義できないため、これらの点での解を考慮する必要があります。一般的に、このような場合はx≠±1という条件をつけた上で解を求めます。

微分方程式を解く際にxがゼロでないことを示さない場合、問題自体がx≠0を前提に進んでいるため、特にその点を再確認する必要はありません。ただし、問題設定によっては、x≠0やx≠±1などの条件が必要となる場合があるため、その点に注意しながら解法を進めることが大切です。

微分方程式を解く際に右辺がゼロでない場合、xで両辺を割る操作を行いますが、x≠0であることを示す必要がないのは、問題自体がその条件を前提としているからです。解法を進める際は、x=0や特定の値で割り算ができない場合を考慮し、解を求める前提条件を確認することが重要です。