サイコロを複数回振るとき、その結果に基づく条件付き確率を求める問題はよくあります。ここでは、大中小の3つのサイコロを同時に振り、出た目の最小値Sが1、最大値Tが6となる確率を求める方法について解説します。
問題設定と条件
この問題では、以下の設定が与えられています。
- 大サイコロ、中サイコロ、小サイコロの3つのサイコロを同時に振る。
- 大サイコロの出た目をX、中サイコロの出た目をY、小サイコロの出た目をZとする。
- 最小の数をS、最大の数をTとし、S=1かつT=6になる確率を求める。
ここで、目標は、S=1かつT=6の条件を満たすサイコロの出目の組み合わせの確率を計算することです。
確率の計算方法
まず、サイコロの目はそれぞれ1から6の間でランダムに決まるので、X, Y, Zの各サイコロの出目は独立しており、それぞれのサイコロの目は6通りの選択肢があります。したがって、サイコロを3つ振った場合の全組み合わせ数は、6 × 6 × 6 = 216通りとなります。
S=1かつT=6になるためには、以下の条件が必要です。
- サイコロの出目のうち、1が1回以上出る。
- サイコロの出目のうち、6が1回以上出る。
- 残りのサイコロの目は1〜6の間の任意の数。
これらの条件を満たす組み合わせを数える必要があります。
条件を満たす場合の組み合わせの数
S=1かつT=6を満たすための組み合わせを考えた場合、次のようなケースが考えられます。
- 1の目が1回出て、6の目が1回出る場合、残りの1つのサイコロは1〜6の間の任意の目が出る。
- 1の目が1回出て、6の目が2回出る場合、これは不可能です。
したがって、条件を満たす組み合わせの数は以下のように計算できます。
1が1回出て、6が1回出る場合の組み合わせの数は、サイコロの順番に関係なく1と6が出る位置を選ぶ方法を考え、残りのサイコロの目が1〜6の間の任意の数となるため、次のように計算します。
3! / 2! = 3通り（1の目と6の目の位置を決める）
残りのサイコロに関しては、目が1〜6の間で自由に選ばれるので、6通りです。
そのため、条件を満たす組み合わせの数は 3 × 6 = 18 通りです。
確率の求め方
全組み合わせ数が216通りであり、そのうち18通りがS=1かつT=6を満たす場合であるため、確率は次のように求められます。
確率 = 18 / 216 = 1 / 12 ≈ 0.0833
まとめ
大中小のサイコロを同時に振ったとき、出た目の最小値Sが1、最大値Tが6となる確率は、1 / 12、すなわち約8.33%となります。このような確率問題は、サイコロの組み合わせや条件を整理することで簡単に解けることがわかります。
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