不等式 2x + 3 ≤ x² < 5 の解法とその理由【数学の基礎】

不等式の解法は一見難しそうですが、手順を追っていけば簡単に解けます。本記事では、特に「2x + 3 ≤ x² < 5」について、その解法と問題で提示された疑問について解説します。

問題の読み取り

まず、問題文は「2x + 3 ≤ x² < 5」という形になっています。これは2つの不等式が連続している複合不等式です。

疑問点として、「なぜ2x + 3 ≤ x² と 3 ≤ x² < 5に分けられないのか？」という点があります。まず、それぞれの不等式に分ける意味について見ていきます。

最初に、単独の不等式を扱うときは順番に注意が必要です。問題の「2x + 3 ≤ x² < 5」の場合、この不等式全体を一度に扱う必要があります。各部分で単独で式を解くと結果が異なります。

例えば、仮に「2x + 3 ≤ x²」と「x² < 5」に分けて解こうとすると、解く範囲が異なり、解の整合性が取れなくなってしまうため、このような分け方は適切ではありません。

1. まず、「2x + 3 ≤ x²」という不等式を解きます。

2. 次に、「x² < 5」を解きます。

この2つの不等式を同時に考えることで、解の範囲が定まります。

1. 「2x + 3 ≤ x²」を解くためには、まず「x² – 2x – 3 ≥ 0」と変形します。

これを因数分解すると「(x – 3)(x + 1) ≥ 0」となります。ここで、x = 3, -1 という2つの解を得ます。この不等式の解は、x ≤ -1 または x ≥ 3 です。

2. 次に「x² < 5」を解くためには、x² < 5 → -√5 < x < √5 となります。

「2x + 3 ≤ x²」と「x² < 5」の解を組み合わせると、解はx ≤ -1 または 3 ≤ x < √5 となります。

不等式の解法では、式を分けて扱うことができない場合もあります。問題の不等式「2x + 3 ≤ x² < 5」をそのまま解くことで、正しい解が得られます。分けて解こうとすると整合性が取れなくなるため、注意が必要です。