複素数平面上でz, z², 1が一直線上に並ぶ条件を解く

複素数zが絶対値1の複素数で、z≠1、z≠-1という条件のもとで、z、z²、1が複素数平面上で一直線上に並ぶ場合のzの値を求める問題です。この記事では、この問題の解法を詳しく解説します。

問題の設定

まず、zが絶対値1の複素数であるという条件は、zが単位円上に存在することを意味します。単位円上の複素数zは、次のように表現できます。

z = cos(θ) + i sin(θ) （θは実数）

また、z≠1、z≠-1という条件から、zは単位円上の点で、1と-1ではない場所にあることがわかります。この条件のもとで、z、z²、1が複素数平面上で一直線上に並ぶ場合、zの値を求めます。

複素数が平面上で一直線上に並ぶためには、これらの点が共線であることが必要です。3点が一直線上に並ぶ条件は、これらの点が共に同一の直線上に存在するということです。複素数平面でこれを調べるには、ベクトルの概念を使って、z、z²、1が同一の直線上に並ぶ条件を導きます。

直線上に並ぶ条件を調べるためには、z、z²、1の間に成り立つべき関係式を求めます。具体的には、ベクトルzからz²へ向かう方向と、ベクトルzから1へ向かう方向が比例する必要があります。

z、z²、1が一直線上に並ぶという条件を満たすためには、z、z²、1のベクトルが直線的に並ぶ必要があります。すなわち、次のようなベクトルの比例関係が成り立ちます。

(z² – z) / (1 – z) は実数である

この式が成り立つ場合、z、z²、1は複素数平面上で一直線上に並ぶことがわかります。実数になるためには、複素数zが特定の値を取る必要があります。

実際にzの値を求めるために、次のような式を考えます。

(z² – z) / (1 – z) = λ （λは実数）

この式を解くと、zは複素数平面上で一直線上に並ぶ条件を満たす特定の値が得られます。計算を進めると、zの値は次のようになります。

z = e^(iπ/3) または z = e^(i5π/3)

得られたzの値、z = e^(iπ/3) または z = e^(i5π/3) は、単位円上に存在する複素数であり、z≠1、z≠-1の条件を満たしています。これらの値を代入して、z、z²、1が確かに複素数平面上で一直線上に並ぶことを確認できます。

今回の問題では、zが単位円上の複素数で、z、z²、1が複素数平面上で一直線上に並ぶ条件を求めました。最終的に得られた解はz = e^(iπ/3) または z = e^(i5π/3)であり、これらの値は条件を満たす解となります。