Σ(p=1→n) nCp * a^(n-p) * b^p のような式は、二項定理の一部であり、組み合わせや指数の計算に関連する問題です。この式をどのように計算するか、具体的な手順を解説します。
式の構成要素の理解
まず、式 Σ(p=1→n) nCp * a^(n-p) * b^p の各部分を分解してみましょう。ここでの nCp は組み合わせの式であり、n個からp個を選ぶ方法の数を表します。a^(n-p) は a の n-p 乗、b^p は b の p 乗です。
この式の求め方は、p の値を1からnまで順に代入し、各項を計算してその合計を求めるというものです。
式の展開方法
Σ(p=1→n) nCp * a^(n-p) * b^p は、二項定理の拡張であると考えることができます。二項定理では、(a + b)^n = Σ(p=0→n) nCp * a^(n-p) * b^p という形で展開されます。これと比較すると、p=1からスタートしている点に注目が必要です。
一般的な二項定理では、p=0からnまで計算しますが、この式ではp=1からスタートするため、最初の項（p=0の項）を省略していることになります。したがって、Σ(p=1→n) nCp * a^(n-p) * b^p は、(a + b)^n の展開から最初の項を引いた形になります。
計算例
例えば、n = 3、a = 2、b = 3 の場合、この式は次のように計算できます。
Σ(p=1→3) 3Cp * 2^(3-p) * 3^p = 3C1 * 2^(3-1) * 3^1 + 3C2 * 2^(3-2) * 3^2 + 3C3 * 2^(3-3) * 3^3
これを計算すると、各項は次のようになります。
- p=1のとき：3C1 * 2^2 * 3 = 3 * 4 * 3 = 36
- p=2のとき：3C2 * 2^1 * 3^2 = 3 * 2 * 9 = 54
- p=3のとき：3C3 * 2^0 * 3^3 = 1 * 1 * 27 = 27
したがって、Σ(p=1→3) 3Cp * 2^(3-p) * 3^p = 36 + 54 + 27 = 117 となります。
まとめ
Σ(p=1→n) nCp * a^(n-p) * b^p は、二項定理に基づく展開の一部として計算できます。この式は、p=1からnまでの項を足し合わせることで求められます。計算例を通じて、具体的な手順と結果の求め方が理解できました。
コメント