(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 の証明とその理解

多くの学生が、「(a+b)^2 = a^2 + ab^2 + b^2」だと思い込みがちですが、実際の正しい展開式は「(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2」です。この記事では、なぜこの式が成立するのか、具体的な計算過程を踏まえて説明します。

式の展開方法

(a+b)^2 は、(a+b) を2回掛け算するという意味です。これを展開するために、(a+b)×(a+b) を計算します。まず最初に、最初の (a) と次の (a) を掛け算すると、a^2 になります。次に、(a) と (b) を掛けると ab、(b) と (a) を掛けると ab、そして最後に (b) と (b) を掛けると b^2 になります。したがって、全体の式は以下のようになります。

(a+b)^2 = a^2 + ab + ab + b^2

なぜ「2ab」になるのか

ab + ab は同じ項なので、まとめて 2ab になります。したがって、最終的に展開式は「a^2 + 2ab + b^2」となり、この式が「(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2」となります。

よくある誤解とその理由

「(a+b)^2 = a^2 + ab^2 + b^2」という誤解は、掛け算の順番や項の見落としから生じることがあります。特に、abとb^2が一緒になっている部分が間違いです。掛け算の順番を意識して、式を正しく展開することが重要です。

まとめ

(a+b)^2 を展開すると、「a^2 + 2ab + b^2」となり、abの項が2倍になることがポイントです。この計算方法をしっかり理解して、式の展開に役立てましょう。