直線の方程式 y = ax + b と x軸の正の向きとのなす角 α について、なぜ tanα = a になるのかを解説します。これは、直線の傾きと角度の関係から導かれる結果です。以下にその理由を分かりやすく説明します。
直線の傾きと角度の関係
直線の傾き a は、その直線が x 軸とどのような角度で交わるかを表す重要な要素です。直線の傾き a は、直線の垂直方向の変化量（y の変化）を水平方向の変化量（x の変化）で割った値として定義されます。つまり、直線の傾きは、x 軸との角度を計算するために必要な情報を提供します。
tanα の定義と直線の傾き
tanα は、直線と x 軸がなす角度 α のタンジェント（正接）であり、直線の傾き a と直接的に関連しています。数学的には、tanα は直線の傾き a と等しいことが証明できます。これは直線が x 軸に対してどれだけ急な角度で上昇または下降しているかを示すものです。
直線が x 軸と形成する角度を α とした場合、tanα = a という関係が成り立ちます。これが意味するのは、直線の傾き a がそのまま x 軸との角度 α の正接になるということです。
直線の方程式 y = ax + b からの導出
直線の方程式 y = ax + b では、a が傾きを表します。これを座標平面上で考えると、直線の傾き a は、x 軸との角度 α のtan(α) と一致します。直線の傾きが a であれば、tanα = a となり、直線と x 軸の間に形成される角度が α であることがわかります。
この関係は、直線の傾きを使って角度を計算する際の基本的な考え方となります。具体的には、直線の傾きが大きくなるほど、x 軸に対する角度は急になり、傾きが小さくなるほど角度は緩やかになります。
まとめ
直線 y = ax + b の傾き a は、直線と x 軸がなす角度 α のtanα に等しいことがわかりました。この関係は、直線の傾きを用いて、簡単に角度を求めることができる非常に便利な方法です。tanα = a の関係を理解することで、直線と x 軸の角度に関する問題を解くことが容易になります。
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