高校数学の極限問題で、xを-∞に近づける時に(x² – x + 1)^(1/2) + xの極限値を求める方法には注意が必要です。特に、式をxで括ると誤った答えが得られる理由を理解することが重要です。この記事では、この問題の正しい解き方と、xで括ると違う答えが出る理由を解説します。
1. 問題の設定と式の理解
問題は、次のように与えられています。
「xを-∞に近づける時に(√(x² – x + 1)) + xの極限値を求めなさい。」まず、この式の形をよく見てみましょう。ここでは、x² – x + 1の平方根にxを足した式です。このような式の極限を求めるとき、単純にxで括ることができるかどうかを考える必要があります。
2. 解法の基本的なアプローチ
まず、この式の極限を求めるために、分母と分子の形を変形する必要があります。xを-∞に近づけるとき、x²は非常に大きな値になります。そのため、x² – x + 1をおおよそx²として扱うことができます。このように、式は次のように近似できます。
(√(x² – x + 1)) + x ≈ (√(x²)) + x = |x| + x
ここで、|x|はxの絶対値です。xが負の値（x → -∞）になるため、|x| = -xとなり、式は次のように簡略化できます。
-x + x = 0
3. なぜxで括ると違う答えが出るのか
式をxで括ると、(√(x² – x + 1)) + x = x(√(1 – 1/x + 1/x²)) + xといった形にしてしまうかもしれません。しかし、この形はxが-∞に近づく場合に無理にxを括ることで、誤った極限を計算してしまう原因となります。なぜなら、この式をそのままxで括ると、√(1 – 1/x + 1/x²)の部分が1に近づくため、計算結果に余計な項が加わってしまうからです。したがって、xで括るのではなく、最初の形を維持しつつ、適切な近似を使用することが大切です。
4. 正しい答えを求めるためのステップ
x → -∞の極限を求めるための正しい方法は、最初に示した通りです。まず、x² – x + 1をx²で近似し、その後、√(x²) = |x|であることに注目します。このとき、xが負の値であるため、|x| = -xとし、結果として式が0に収束することがわかります。
5. まとめ
この問題では、xを-∞に近づける際に式をxで括ると、誤った答えが出る理由は、近似をうまく扱わなかったことにあります。xで括るのではなく、式の中の項を正確に扱うことで、極限を正しく求めることができます。このような問題に取り組む際には、近似や式の取り扱いに注意を払いながら解くことが重要です。
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