関数 f(x) = x - cos(x) の方程式 f(x) = 0 の解の一意性の証明

このページでは、関数f(x) = x – cos(x)の方程式f(x) = 0がどのようにしてただ一つの解を持つことを示すかを解説します。特に中間値の定理を使って解の一意性を証明する方法について説明します。

問題の理解

関数f(x) = x – cos(x)において、方程式f(x) = 0の解が一意であることを示す問題です。解の一意性を証明するためには、単に解が存在するだけではなく、解がただ一つであることを示さなければなりません。

中間値の定理によると、連続関数が区間[a, b]で定義され、f(a)とf(b)の符号が異なる場合、必ずf(x) = 0を満たすxが[a, b]の間に存在します。この定理を使って、まず解が存在することを示します。

まず、f(x) = x – cos(x)が連続関数であることを確認します。x – cos(x)は加減乗除と連続関数の組み合わせであるため、連続関数です。そして、次にf(x)が区間[a, b]で符号が異なる点を探します。

中間値の定理で解が存在することが分かった後、次に解がただ一つであることを示さなければなりません。このためには、関数f(x) = x – cos(x)の微分を調べると良いです。微分を使って関数が単調増加または単調減少することを示せれば、解はただ一つであることが分かります。

f'(x) = 1 + sin(x)です。sin(x)は-1から1の範囲で変動するため、f'(x) = 1 + sin(x)は常に0より大きいです。したがって、f(x)は増加関数であり、解が一意であることが保証されます。

関数f(x) = x – cos(x)について、中間値の定理を使うことで解が存在することを確認し、さらにf(x)の微分を用いて関数が単調増加であることを示すことで、解がただ一つであることを証明しました。このように、解の一意性を証明するためには、解の存在だけでなく、関数の性質も調べる必要があります。