漸化式の問題を解く際に、式の変形や代入の理解は非常に重要です。今回は、河野玄斗さんの動画に登場する「3(an+2)をBnとおくとan-1-aがBn-1+1になる」という部分の理解について解説します。
漸化式とは
漸化式は、前の項を基にして次の項を計算する式です。数学の中でよく使われ、数列や列の問題に出題されることがあります。例えば、数列の各項が前の項に依存している場合、その関係を漸化式で表現できます。
問題の理解：なぜBnとおくのか
まず、問題にある式「3(an+2)をBnとおく」という部分から考えましょう。ここで、anは元の数列の一般項を表しています。そして、Bnは新しく定義された数列で、anの式を変形したものです。
3(an+2)という形をBnに置き換えることによって、式の形をより簡潔にすることができます。これにより、漸化式の計算を行いやすくするための準備を整えるのです。
式の変形：an-1-a = Bn-1 + 1になる理由
次に、an-1 – aがBn-1 + 1になる理由を考えます。まず、Bの定義から出発します。Bnは、anの式を簡単にした形です。an-1という項も、同じようにBn-1を使って表現できます。
ここで、式を変形する際のポイントは、Bnとanの関係を正確に捉えることです。Bn-1に1を足すことによって、an-1 – aがBn-1 + 1という関係になることがわかります。この操作により、漸化式が解きやすくなります。
まとめ
漸化式を解く際には、式の変形や新しい定義を使って計算を簡素化することが重要です。「3(an+2)をBnとおく」ことで、式の計算がスムーズに進み、次の項を簡単に求められるようになります。今回の解説では、この考え方と変形の仕組みを具体的に説明しました。
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