この問題では、100円硬貨2枚と10円硬貨3枚を同時に投げて、表が出た硬貨を受け取るゲームを行い、その受け取る金額の期待値と分散を求める方法について解説します。確率分布を使った計算を行うことが重要ですが、二項分布を使って解くことも可能です。本記事では、確率分布をもとに期待値や分散を計算する方法を具体的に説明します。
問題の整理
ゲームに使われる硬貨は100円硬貨2枚と10円硬貨3枚です。各硬貨を投げた際、表が出た硬貨を受け取ることになります。ここで求めるのは、受け取る金額の期待値と分散です。
まず、100円硬貨と10円硬貨それぞれの表が出る確率を求めます。各硬貨が表を出す確率は50％（1/2）です。
期待値の求め方
期待値は、各結果の金額とその確率を掛け合わせて合計した値です。この問題では、100円硬貨と10円硬貨それぞれの期待値を求め、それを合計します。
100円硬貨2枚を投げる場合、表が出る確率はそれぞれ1/2です。したがって、期待値は次のように求められます。
- 100円硬貨が表になる確率は1/2、金額は100円なので、期待値は1/2 * 100 = 50円です。
- 同様に、10円硬貨3枚についても期待値を求めます。10円硬貨1枚の期待値は1/2 * 10 = 5円です。
したがって、100円硬貨2枚、10円硬貨3枚それぞれの期待値を足すと、期待値は次のように計算できます。
2 * 50円 + 3 * 5円 = 100円 + 15円 = 115円
分散の求め方
分散は、結果のばらつき具合を表す指標です。確率変数がその期待値からどれだけ離れるかを示すもので、次の式を用いて求めます。
Var(X) = Σ[(x – μ)² * P(x)]
ここで、xは各結果、μは期待値、P(x)はその結果の確率です。
100円硬貨2枚について、表が出る確率は1/2で、表が出た場合の金額は100円です。したがって、分散は次のように計算できます。
- 100円硬貨の分散は (100 – 50)² * 1/2 = 50² * 1/2 = 2500 * 1/2 = 1250円²です。
同様に、10円硬貨3枚についても分散を求めます。10円硬貨1枚の分散は (10 – 5)² * 1/2 = 5² * 1/2 = 25 * 1/2 = 12.5円²です。
したがって、分散の合計は次のように求められます。
2 * 1250円² + 3 * 12.5円² = 2500円² + 37.5円² = 2537.5円²
二項分布を使ったアプローチ
二項分布を使ってこの問題を解くのも一つの方法です。二項分布を利用することで、表が出る確率と硬貨の枚数に基づいて計算を進めることができます。具体的には、確率p = 1/2を用いて、表が出る回数の確率を計算し、それに基づいて期待値や分散を求めることができます。
まとめ
この問題を解くには、確率分布をもとに期待値や分散を計算しました。100円硬貨2枚と10円硬貨3枚を投げるゲームの期待値は115円、分散は2537.5円²でした。また、二項分布を使って解く方法もありますが、確率分布を用いた方法でも十分に解くことができます。
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