3次関数の極値と定数の求め方 - f(x) = x³ + ax² + bx

3次関数 f(x) = x³ + ax² + bx の極値を求める問題について解説します。問題では、f(x) が x = -α で極値 a² を持つことが与えられています。このような問題を解くには、まず関数の微分を求め、極値の条件を使って定数を導きます。

1. 関数の微分を求める

まず、関数 f(x) = x³ + ax² + bx の導関数 f'(x) を求めます。微分することで、極値を求めるための必要な情報が得られます。

f'(x) = 3x² + 2ax + b

問題では、f(x) が x = -α で極値 a² を持つと述べられています。極値が存在するためには、導関数が x = -α で 0 でなければなりません。したがって、f'(-α) = 0 の式を得ます。

f'(-α) = 3(-α)² + 2a(-α) + b = 0

この式を展開して整理すると、a と b に関する関係が得られます。

次に、与えられた極値の値 a² を使って、定数 α と b の値を求めます。問題で a² の値が指定されているので、この値を代入して計算を進めます。さらに、f(x) が x = -α で極小値を持つ場合、f”(-α) > 0 の条件も満たさなければなりません。

極小値は、f(x) の2階微分を用いて求めます。f”(x) の値を計算し、x = -α での値を求めることで、f(x) の極小値を計算することができます。

f''(x) = 6x + 2a

f”(-α) を計算し、その値が正であれば、x = -α で極小値が存在することが確認できます。

この問題を解くためには、微分を使って極値の条件を導き出し、与えられた情報を基に定数を求める方法が必要です。f'(x) = 0 と f”(x) > 0 を満たす条件を確認することで、定数 α と b の値、さらに f(x) の極小値を求めることができます。