質問の「曲線C: y=x³+x²について、点A(0 , -0.5)を通るCの接線が3本存在する」という現象に関して、まずはその意味と接線が3本存在する条件について解説します。この問題は、接線が曲線にどのように接するか、そしてその条件を満たす点を探す過程を含みます。
曲線の接線とは？
接線とは、ある曲線において、点でその曲線に最も近い直線のことです。接線の傾きは、その点における曲線の微分係数、つまり導関数で求めることができます。曲線に対して接線が1本、または複数本存在する場合、それはその点での曲線の変化がどのように起きるかに依存します。
この問題では、y=x³+x²という曲線の上で、点A(0, -0.5)を通る接線が3本存在するという設定です。接線の数が複数ある場合、それは微分を使って求めることができる接点の性質に関係しています。
接線が3本存在する条件を探る
まず、y=x³+x²の微分を求めます。この曲線の導関数（微分）は次のように計算できます。
dy/dx = 3x² + 2x
接線の方程式は、接点での傾き（dy/dx）を求め、その点での曲線の座標を使って求めます。具体的には、点A(0, -0.5)における接線を求めるためには、まずその点での接線の傾きを求め、それを元に接線の方程式を立てます。
接線の方程式と解法
点A(0, -0.5)における接線の傾きを求めるために、まず曲線の微分を点x=0に代入します。
dy/dx = 3(0)² + 2(0) = 0
したがって、点Aでの接線の傾きは0であり、接線は水平な直線となります。これにより、接線の方程式はy=-0.5となります。
次に、曲線上で接線が3本存在するためには、接点を求める必要があります。具体的には、曲線y=x³+x²と接線y=-0.5が交わる点を求める必要があります。このため、y=x³+x²をy=-0.5に等しいとおいて、方程式を解きます。
x³ + x² = -0.5
この方程式を解くことで、接点のx座標が求められ、接線が3本存在する条件が分かります。実際には、3つの解が得られる場合、その解に対応するxの値を使って接線の方程式が得られます。
接線の本数とグラフの解釈
接線が3本存在するという現象は、曲線がx軸と交わる点での振る舞いに依存します。具体的には、曲線y=x³+x²がx軸と交わる点で、接線が複数回交差する場合に、このような結果が得られます。グラフでは、曲線が接線を3回交差する点を確認することができます。
この現象をグラフで視覚化することで、接線がどのように曲線と交わるのか、またその接線がどのように変化するのかをより明確に理解できます。グラフ上での接線の本数が3本であることを示すためには、曲線が接線を複数回通過する様子を確認します。
まとめ：接線の本数とその意味
曲線y=x³+x²において、点A(0, -0.5)を通る接線が3本存在する理由は、曲線の性質に基づいています。接線が複数存在するためには、曲線がその接線を複数回交差する必要があります。このような問題を解く際には、微分を利用して接線の傾きを求め、接線の方程式を導くことで、実際に接点を見つけることができます。グラフを描くことで、接線がどのように曲線と交わるのかを視覚的に確認することができ、数学的な理解が深まります。
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