関数y=ax-sin3xの極値を求めるためのaの範囲の求め方

中学や高校でよく出る、関数の極値を求める問題は、微分や関数の性質を理解することが重要です。今回は、関数y=ax-sin3xの極値を求めるためのaの範囲をどのように求めるかを解説します。

問題の設定と式の確認

まず、問題は関数y=ax-sin3xの極値を求めるもので、aの値がどの範囲にあるときにこの関数が極値をもつかを求めます。問題文では、答えが-3

関数y=ax-sin3xの微分を考えた際に、極値を求めるためにはその微分がゼロになる点を見つける必要があります。

まず、この関数y=ax-sin3xをxで微分します。微分すると、y’ = a – 3cos(3x)となります。これがゼロになる点が極値を持つ場所になります。

したがって、a – 3cos(3x) = 0 という式が成り立つ必要があり、ここからa = 3cos(3x)という式が導かれます。

次に、cos(3x)の取りうる範囲を考えます。cos(3x)は、xの値に関係なく-1から1の範囲で変動します。したがって、a = 3cos(3x)から、aの範囲は-3≦a≦3となります。

この範囲のうち、aが-3や3の時には、cos(3x)がちょうど-1や1になり、極値を持つことが確認できます。しかし、問題文では「≦」ではなく、「<」である理由が疑問です。

「≦」を使わない理由は、cos(3x)が-1や1のときに、微分がゼロになるだけではなく、関数が極大値や極小値に達するわけではないためです。関数が極値を持つためには、微分がゼロになる点で、その値が最大または最小でなければなりません。

したがって、aが-3や3のとき、cos(3x)が-1や1になることで微分はゼロになりますが、そのときに関数が極値を持つわけではないため、aの範囲は-3

関数y=ax-sin3xの極値を求めるためには、まず微分してその微分がゼロになる点を見つけます。そして、cos(3x)の取りうる範囲を考慮してaの範囲を-3≦a≦3としますが、極値が存在するためにはaは-3より大きく、3より小さい範囲である必要があるため、答えは-3