三角関数の方程式「sinx + cosx = 1/√2」を解く問題では、合成を用いて簡単に解く方法があります。この記事では、この問題を解くためのステップを詳しく解説します。合成の方法や解法の過程も説明しますので、ぜひ参考にしてください。
1. 方程式の整理
まず、与えられた方程式「sinx + cosx = 1/√2」を確認します。このままでは解きにくいため、合成を使って解きやすい形に変形していきます。
「sinx + cosx」を合成の形に変形するためには、次のような形にします。
sinx + cosx = √2 * (sin(x + π/4))
これをどうやって変形するのか、次のステップで説明します。
2. 合成の方法
合成の方法では、sinx + cosxを1つの三角関数の形にまとめます。具体的には、sinx + cosxを次のように書き換えます。
sinx + cosx = √2 * (sin(x + π/4))
この変形は、三角関数の合成公式を利用したものです。具体的に言うと、sin(α + β) = sinα * cosβ + cosα * sinβという合成公式を使って、sinx + cosxを1つの三角関数の形にまとめます。
3. 解の導出
次に、変形した式「√2 * (sin(x + π/4)) = 1/√2」を解いていきます。この方程式を解くために、両辺を√2で割ります。
sin(x + π/4) = 1/2
次に、sin(x + π/4) = 1/2となるxの値を求めます。sinθ = 1/2となる角度は、θ = π/6 または θ = 5π/6です。
したがって、x + π/4 = π/6 または x + π/4 = 5π/6となります。
これを解くと、x = π/6 – π/4 = -π/12 または x = 5π/6 – π/4 = 7π/12となります。
4. 結論と答え
0 ≦ x ≦ 2πの範囲で解くと、求めるxの値は、-π/12 と 7π/12 です。しかし、範囲に合わせて0以上の解を求める場合、解は次のようになります。
x = 7π/12
5. まとめ
この問題を解くためには、三角関数の合成を使って「sinx + cosx」を「√2 * sin(x + π/4)」という形に変形しました。そして、変形した式から解を導き出しました。この方法を使うことで、三角関数の和を簡単に解くことができます。
合成を用いることで、計算がシンプルになり、問題を効率的に解けるようになります。三角関数の合成方法は、他の類似の問題にも応用できるので、しっかりと理解しておきましょう。
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