与えられた3つの二次方程式について、条件を基にして方程式③を解く問題です。まずは、与えられた情報を整理し、どのようにして方程式③を解くかを理解することが重要です。本記事では、各方程式の条件を用いて、方程式③の解法をステップバイステップで解説します。
問題の整理
与えられた三つの二次方程式は以下の通りです。
- ①：ax² + bx + c = 0
- ②：bx² + cx + a = 0
- ③：cx² + ax + b = 0
また、①の方程式はx = 1を解に持ち、②の方程式はx = 2を解に持っています。これらの情報を使って、方程式③の解を求めます。
ステップ1：与えられた条件からa、b、cの関係を求める
①の方程式ax² + bx + c = 0がx = 1を解に持つため、x = 1を代入すると次の式が得られます。
a(1)² + b(1) + c = 0 → a + b + c = 0
したがって、a + b + c = 0 という式が得られます。
同様に、②の方程式bx² + cx + a = 0がx = 2を解に持つため、x = 2を代入して得られる式は。
b(2)² + c(2) + a = 0 → 4b + 2c + a = 0
これで次の2つの式が得られました。
- a + b + c = 0
- 4b + 2c + a = 0
ステップ2：連立方程式を解く
得られた2つの式を連立して解きます。まず、①式からaを解くと。
a = -b – c
これを②式に代入します。
4b + 2c + (-b – c) = 0 → 4b + 2c – b – c = 0 → 3b + c = 0
したがって、c = -3b という式が得られます。
次に、c = -3b を①式に代入してaを求めます。
a = -b – (-3b) = -b + 3b = 2b
これでa = 2b、c = -3bという関係が得られました。
ステップ3：方程式③の解を求める
次に、得られたa = 2b、c = -3bを方程式③：cx² + ax + b = 0に代入します。
-3b x² + 2b x + b = 0
b(-3x² + 2x + 1) = 0
ここでb ≠ 0なので、-3x² + 2x + 1 = 0を解きます。これが解くべき方程式です。
解の公式を使って、xの解を求めます。
x = (-2 ± √(2² – 4(-3)(1))) / 2(-3) = (-2 ± √(4 + 12)) / -6 = (-2 ± √16) / -6 = (-2 ± 4) / -6
したがって、xの解は。
- x = (-2 + 4) / -6 = 2 / -6 = -1/3
- x = (-2 – 4) / -6 = -6 / -6 = 1
まとめ
方程式③の解はx = -1/3とx = 1です。これで、与えられた条件を基にして方程式③を解くことができました。問題を解く過程では、連立方程式を用いてa、b、cの関係を求め、それを方程式③に代入することで解を導きました。
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