このページでは、関数 f(x) = (x³ + y⁴) / (x² + 4y²) における偏導関数 fx(x, y) の求め方について、特に (0,0) における偏導関数の極限の求め方を詳しく解説します。問題文で述べられている疑問についても触れ、なぜ求めた値が異なるのかを丁寧に説明します。
関数 f(x) = (x³ + y⁴) / (x² + 4y²) の定義
まず、関数 f(x) を再確認しましょう。関数 f(x) は以下の形で定義されています。
f(x) = (x³ + y⁴) / (x² + 4y²)。この関数は、x および y の二変数の関数であり、求めたいのは (0,0) での偏導関数です。
偏導関数の定義
偏導関数は、変数 x に関して偏微分を行うもので、定義式は以下の通りです。
fx(x, y) = lim(h→0) [f(x + h, y) – f(x, y)] / h。
これを (0,0) で適用すると、具体的な計算が必要です。
fx(0,0) の求め方と極限の存在
問題で示された通り、fx(0, 0) を求めるためには、以下のように計算します。
lim(h→0) [f(h, 0) – f(0, 0)] / h = h / h = 1。
しかし、この求め方では極限が存在しないという主張があります。実際に、偏導関数の定義に従って計算した場合、他の方法で求める極限と異なります。
なぜ答えが異なるのか？
極限の存在に関する疑問についてですが、実際には関数の定義における x と y の関係に注意する必要があります。x = 0 や y = 0 の場合に関して、f(x) の極限を直接的に求めるのが難しいことがわかります。中間値定理や他の定理を用いることで、極限が存在するかどうか、そして求め方が変わるのかを深く理解することが重要です。
まとめ
f(x) = (x³ + y⁴) / (x² + 4y²) の偏導関数 fx(0, 0) を求めるためには、限界を適切に扱う必要があります。単純に計算しただけでは異なる答えが出る場合もあり、極限の取り扱いや中間値定理などを学び直すことが、問題を正しく理解するために必要です。
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