関数y=x²-logxの増減と極値の求め方：極小値と極大値の違い

関数の極値を求める問題では、微分を使って関数の増減を調べ、その極大値や極小値を特定します。今回は、関数y=x²-logxの増減を調べ、その極値を求める方法を解説します。特に、なぜx=-1/√2で極大値が生じないのか、その理由についても詳しく説明します。

問題の設定と関数の確認

問題は、関数y=x²-logxの増減を調べ、その極値を求めるというものです。この関数の増減を調べるためには、まずその導関数を求め、微分がゼロになる点を特定する必要があります。

関数y=x²-logxにおいて、xがどの範囲で増加し、どの範囲で減少するかを理解するために、まずその微分を行います。

関数の微分と増減の調査

関数y=x²-logxの導関数を計算します。

y’ = 2x – (1/x)

微分した結果、導関数y’ = 2x – 1/xとなります。極値を求めるためには、この導関数がゼロになる点を求めます。すなわち、2x – 1/x = 0を解く必要があります。

極値を求めるための計算

2x – 1/x = 0を解くと、x² = 1/2となり、x = ±1/√2となります。これにより、x = 1/√2とx = -1/√2が極値を持つ可能性があることがわかります。

次に、x = 1/√2とx = -1/√2での関数の値を調べます。具体的には、関数の2階導関数を使って、これらの点で極大値または極小値が存在するかを判定します。

2階導関数による極値の判定

関数の2階導関数を求めると、次のようになります。

y” = 2 + 1/x²

ここで、x = 1/√2を代入すると、y” = 2 + 2 = 4となり、これは正の値です。したがって、x = 1/√2のとき、yは極小値を持ちます。

一方、x = -1/√2を代入すると、y” = 2 + 2 = 4となりますが、ここで注意すべきは、x = -1/√2のときには関数が極大値を持たない理由です。なぜなら、x = -1/√2での値が極大値を示さないからです。具体的に言うと、負の値が極大値を持たないため、極小値と判断されます。

まとめ

関数y=x²-logxの極値を求める際には、まず導関数を使って増減を調べ、微分がゼロになる点を求めます。その後、2階導関数を使って、極大値や極小値を判定します。x = -1/√2で極大値が生じない理由は、その点が極大値ではなく、負の値として関数の振る舞いが決まるためです。最終的に、x = 1/√2で極小値が求められました。