二次方程式の解の種類を求める問題では、判別式を使って解の性質を明確にすることができます。今回は、「kを実数とする二次方程式 x² – (k+1)x + k² の解を判別せよ」という問題を解いてみましょう。ここでは、判別式の役割と解の性質について解説します。
1. 二次方程式の一般形と判別式
まず、一般的な二次方程式は次の形で表されます。
ax² + bx + c = 0
この方程式の解を求めるためには、判別式（Δ）を使用します。判別式は次のように計算されます。
Δ = b² – 4ac
Δの値によって、解の種類が決まります。
- Δ > 0：実数解が2つある（異なる解）
- Δ = 0：実数解が1つ（重解）
- Δ < 0：実数解はない（虚数解）
2. 問題の式に判別式を適用
問題で与えられた方程式は、x² – (k+1)x + k² = 0 です。この式の係数は次のようになります。
- a = 1（x²の係数）
- b = -(k+1)（xの係数）
- c = k²（定数項）
これらを判別式の式に代入します。
Δ = b² – 4ac = (-(k+1))² – 4(1)(k²)
Δ = (k+1)² – 4k²
Δ = k² + 2k + 1 – 4k²
Δ = -3k² + 2k + 1
3. 判別式Δの符号による解の種類
Δの符号（正、ゼロ、負）によって解の性質が決まります。ここではΔ = -3k² + 2k + 1 という式が判別式です。Δの符号を調べて、解がどのようになるのかを確認しましょう。
Δ > 0 の場合、2つの異なる実数解が得られます。Δ = 0 の場合、重解（1つの実数解）が得られます。Δ < 0 の場合、実数解は存在しません（虚数解）。
4. Δの解析と具体的な解法
Δ = -3k² + 2k + 1 が正、ゼロ、負になるkの値を求めることで、解の性質を明確にすることができます。Δ > 0、Δ = 0、Δ < 0 それぞれの場合のkの値を求めて、解がどうなるかを確認しましょう。
5. まとめ
この問題では、判別式Δを使って解の性質を求める方法を学びました。二次方程式の判別式は解の種類を決定するための強力なツールです。判別式を計算することで、実数解の数や虚数解の有無を簡単に確認できます。解の種類を把握するためには、まずΔを計算し、その符号を確認することが重要です。
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