x→+∞のとき(1+2x⁻¹)ˣはどんな値に近づくかの解析

この問題では、式(1 + 2x⁻¹)ˣがx→+∞のときにどのように振る舞うかを求める問題です。数学的にこの式の極限を計算するために、まずは式を簡単にし、その挙動を観察します。

式の変形

与えられた式は(1 + 2x⁻¹)ˣです。まず、x→+∞のときにx⁻¹が0に近づくことを考慮すると、式は次第に(1 + 0)ˣ、つまり1ˣに近づくように思えます。しかし、この式は指数関数の形をしており、xが大きくなるにつれて次第に変化する値が現れます。

指数関数の近似

式(1 + 2x⁻¹)ˣを取り扱うためには、eを使った近似を考えます。e^(u)の形式に似ていることから、次の近似式を使うことができます。

1 + u ≈ e^u（uが小さい場合）を利用すると、式は次のように近似できます。

式(1 + 2x⁻¹)ˣ ≈ e^(2x⁻¹ * x) = e²

極限の求め方

x→+∞において、(1 + 2x⁻¹)ˣはe²に収束することがわかります。つまり、xが非常に大きくなると、式(1 + 2x⁻¹)ˣの値はe²、約7.389に近づくということです。

まとめ

式(1 + 2x⁻¹)ˣがx→+∞のとき、最終的にe²に収束することがわかりました。この結果から、指数関数の特性を理解し、近似を用いて簡単に極限を求めることができることがわかります。