e^x + e^−x と x^2 + 2 の大小関係を求める方法

この問題では、実数xに対して式「e^x + e^−x」と「x^2 + 2」の大小関係を求める問題です。今回はその解法のステップを詳しく解説していきます。

問題の理解

与えられた問題は、式「e^x + e^−x」と「x^2 + 2」の大小関係を、すべての実数xについて求めるというものです。まず、これらの式を比較するために、両者の差を考えると簡単に解けます。

まず、両方の式の差を考えます。

f(x) = e^x + e^−x − (x^2 + 2)

この式を整理すると、以下のようになります。

f(x) = e^x + e^−x − x^2 − 2

これが、大小関係を求めるために検討する式になります。

次に、この関数f(x)の微分を行い、増減表を作成して、f(x)が増加している区間と減少している区間を調べます。

f'(x) = e^x − e^−x − 2x

微分した結果、f'(x)が0になる点を求め、その点を境に関数が増加または減少していることが分かります。微分方程式を解くことで、f(x)が最小値をとる点や最大値をとる点を求めることができます。

最終的に、f(x)が最小値を取る点を調べると、この問題における大小関係が明らかになります。実際に関数を描画すると、x^2 + 2の方が常にe^x + e^−xよりも大きいことが確認できます。

以上のように、式「e^x + e^−x」と「x^2 + 2」の大小関係は、xのすべての実数においてx^2 + 2の方が常に大きいことが分かります。この問題では、微分を使って関数の増減を調べることが解法のカギとなります。