与えられた微分方程式は以下の通りです：
x’ = 2x – y + z
y’ = 4x/7 + 8y/7 – 6z/7
z’ = 3x/7 – y/7 + 6z/7
この問題は、線形の常微分方程式系を解く問題です。
微分方程式の特徴
この系は3変数x, y, zに関する微分方程式です。すべての式は線形であり、右辺にはそれぞれx, y, zが線形に現れています。これらの方程式は、行列形式で表すことができます。まず、これらの方程式を行列形式に変換して解く方法を見ていきます。
行列形式への変換
まず、この系を行列形式で表現します。各変数x, y, zの微分は、次のように行列として書けます。
dx/dt = [ 2 -1 1 ] [x]
dy/dt = [4/7 8/7 -6/7] [y]
dz/dt = [3/7 -1/7 6/7] [z]
この行列形式を用いて、解を求めることができます。
特性方程式の解法
次に、同次系の解を求めます。まず、係数行列の特性方程式を求め、その固有値を求めます。固有値を使って解の一般形を得ることができます。
特性方程式は次のように求めることができます。
det([2 -1 1; 4/7 8/7 -6/7; 3/7 -1/7 6/7] – λI) = 0
ここで、λは固有値、Iは単位行列です。この式を解くことで、λの値を求めます。
解の総合
同次系の解が求まった後、次は非同次項がある場合の解法です。もし初期条件が与えられた場合、解はこれらの初期条件を使って決定します。一般解は同次解と特解の和として表されます。
まとめ
この問題は3変数の線形微分方程式系の解法を扱っています。行列形式に変換した後、特性方程式を使って固有値を求め、同次系の解を得ることができます。非同次項がある場合は、特解を加えることで最終的な解を得ることができます。
コメント