一般項an＝√n(n+1)の部分和の極限を求める方法

数学の問題で、一般項an＝√n(n+1)に対して、部分和Snの極限を求める問題があります。ここでは、この問題をどのように解くか、順を追って解説します。具体的なステップを理解することで、類似の問題にも対応できるようになります。

問題の整理

与えられた問題では、一般項がan＝√n(n+1)という形です。ここで、Snは一般項の部分和を意味しています。つまり、Snは次の式で表されます。

Sn = a1 + a2 + … + an = Σan

この問題では、lim (Sn / n(n+1)) を求めることが求められています。ここで、n→∞として極限を取ります。

まず、一般項an＝√n(n+1)の形をよく見ると、nが大きくなるにつれてanの挙動がわかります。具体的に式を整理すると、次のようになります。

an = √n(n+1) = √(n^2 + n)

これをnが大きくなる場合に近似すると、n^2が支配的になるため、an ≈ √n^2 = n となります。つまり、anはnに比例するように振る舞います。

次に、部分和Sn = Σanを考えます。Snはanの合計ですから、各anの近似値を使ってSnの極限を求めます。

Sn ≈ Σn となるので、Snはnの2乗に比例する形で増加します。したがって、Sn ≈ n^2 です。

最後に、問題の式であるlim (Sn / n(n+1))を求めます。Sn ≈ n^2という近似を使って、式を計算すると。

lim (Sn / n(n+1)) = lim (n^2 / n(n+1)) = lim (n / (n+1))

nが無限大に近づくと、n / (n+1)は1に収束するため、最終的に。

lim (Sn / n(n+1)) = 1 です。

一般項an＝√n(n+1)に対して、部分和Snの極限を求める問題では、anがnに近似されることを利用し、Snがn^2に比例することを理解することが重要です。最終的に、lim (Sn / n(n+1))は1になります。

このような問題では、近似と極限の取り方を理解することが解法の鍵となります。様々な問題に応用できるテクニックを身につけることができます。