今回は、与えられた微分方程式を解いていきます。式は次の通りです：
y”’ – y” – y’ + y = (2e^x / (1+e^x))^2
微分方程式の構造
まず、この微分方程式は3階の線形非同次微分方程式です。左辺の部分は3階の導関数が含まれており、右辺には指数関数の2乗が含まれています。このような式は、特に右辺が非線形であっても、一定の方法で解くことができます。
一般解の構築
微分方程式を解くためには、まず同次方程式の解を求めます。同次方程式は以下のようになります。
y”’ – y” – y’ + y = 0
この同次方程式を解くためには、特性方程式を使います。特性方程式は次のようになります。
r^3 – r^2 – r + 1 = 0
この方程式を解くことで、同次方程式の解となるrの値を求めることができます。その後、rの値を基に一般解を構築します。
非同次方程式の解法
次に、非同次方程式の解法です。非同次項である(2e^x / (1+e^x))^2の解を求めるために、適切な解法を選びます。ここでは、定常解の仮定を使って解を求めます。特に、右辺に指数関数が含まれているため、指数関数の形をした特解を仮定します。
具体的な計算手順は以下の通りです：
1. 特解の形を仮定し、その形を微分します。
2. その微分結果を元の方程式に代入して、特解の定数を求めます。
解の総合
同次方程式の解と非同次方程式の特解を合成することで、微分方程式全体の解が求まります。この解は、定数項と特解の線形結合となります。具体的な解は、特性方程式の解に基づく一般解と、非同次項に対応する特解から構成されます。
まとめ
今回の微分方程式は、同次方程式の解と非同次方程式の特解を組み合わせることで解くことができました。特性方程式の解法を用いて、同次解を得た後、非同次項に対応する特解を仮定して解を得ることができました。これにより、与えられた微分方程式の解を求めることができました。
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