微分方程式 y” – x²y’ + xy = x の解法

微分方程式 y” – x²y’ + xy = x は、線形非同次微分方程式の一例であり、解くためには同次部分と非同次部分に分けて解法を進めていく必要があります。この記事では、この微分方程式の解法をステップバイステップで解説します。

微分方程式の解法の基本アプローチ

まず、微分方程式を解くには、同次方程式の解と特解を求めることから始めます。与えられた微分方程式 y” – x²y’ + xy = x の同次部分は、y” – x²y’ + xy = 0 です。この同次方程式を解いた後、非同次項 x に対して特解を求めます。

同次方程式の解法

同次方程式 y” – x²y’ + xy = 0 を解くためには、変数分離法や定数変化法を用いることができますが、この形の場合は、まず試行解を y = x^r と仮定し、代入して解の一般形を求めます。

試行解 y = x^r を代入して計算すると、r の値を求めることができます。この計算を進めることで、同次方程式の解を得ることができます。

非同次方程式の特解の求め方

次に、非同次方程式 y” – x²y’ + xy = x に対して特解を求めます。特解を求めるためには、右辺の x に合わせた形の解を仮定します。特解の形を決めるためには、右辺に x が含まれているため、特解は多項式の形を取ると考えられます。

特解として適当な形式を仮定し、それを元の微分方程式に代入して、必要な定数を求めます。

最終解の組み立て

同次解と特解が求まったら、最終解は同次解と特解の和として求めます。具体的には、同次解と特解を組み合わせることで、微分方程式 y” – x²y’ + xy = x の一般解を得ることができます。

最終的に求まった解は、定数を含む形で表されるため、初期条件などが与えられた場合には、定数を求めることができます。

まとめ：微分方程式 y” – x²y’ + xy = x の解法

微分方程式 y” – x²y’ + xy = x の解法では、まず同次方程式を解き、次に非同次方程式に対して特解を求めます。最後に、同次解と特解を組み合わせて一般解を得ることができます。この解法のステップを踏むことで、線形非同次微分方程式を効率的に解くことができます。