微分方程式 y” – xy’ + (x-1)y = f(x) は、線形非同次微分方程式の一例です。この問題の解法は、一般的な方法である「同次解」と「非同次解」を求めるアプローチを用います。この記事では、この方程式を解くための手順を詳しく解説します。
微分方程式の一般的な解法
微分方程式の解法には、同次方程式と非同次方程式に分けて考える方法があります。まずは、与えられた方程式の同次部分を解き、その後に非同次項を考慮した解を求めます。
与えられた方程式 y” – xy’ + (x-1)y = f(x) の同次部分は、y” – xy’ + (x-1)y = 0 です。この部分をまず解き、次に非同次項 f(x) を加えた解を求めます。
同次解の求め方
まず、y” – xy’ + (x-1)y = 0 の同次方程式を解きます。これは、定数係数の線形微分方程式に似た形をしているため、解法としては標準的な方法を用いることができます。
まず、y = e^(rx) という形の解を仮定します。これを元の方程式に代入して、r の値を求めます。その後、r の値を使って解を求めます。
非同次解の求め方
非同次方程式 y” – xy’ + (x-1)y = f(x) において、f(x) が与えられている場合、その解は「特解」と呼ばれます。特解は、同次解と適切に組み合わせて最終的な解を求めます。
特解の求め方は、f(x) の形式に依存します。例えば、f(x) が多項式であれば、特解も多項式の形を取ると予想されるため、適切な形を仮定して特解を求めます。
最終的な解の組み立て
同次解と特解を組み合わせることで、微分方程式の一般解が求められます。同次解は、無限に多くの解を持つため、定数を含む形になります。一方、特解はf(x)に対応する特定の解となります。
最終的に、解は次のような形になります。
y(x) = 同次解 + 特解
まとめ：微分方程式の解法
微分方程式 y” – xy’ + (x-1)y = f(x) を解くためには、まず同次解を求め、その後に非同次項 f(x) に対応する特解を求めるという手順が重要です。定数係数の方程式と同様に、適切な仮定を使いながら解を進めていきます。基本的な解法を身につけることで、複雑な微分方程式にも対応できるようになります。
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