3次方程式の有理数解とその条件：互いに素な整数を使う理由

3次方程式の有理数解に関する質問です。問題の方程式は、3x^3-(a+1)x^2-4x+a=0です。この問題における有理数解の求め方と、解をx=n/mとした場合に、なぜmとnが互いに素な整数でなければならないのかについて解説します。

1. 方程式の解と有理数解の条件

方程式3x^3-(a+1)x^2-4x+a=0の有理数解を求める際、有理数解をx=n/mと置きます。ここでnとmは整数ですが、なぜmとnが互いに素な整数である必要があるのかを理解するためには、分数の約分に関する基礎を押さえる必要があります。

mとnが互いに素でなければ、解が真の有理数解であるかどうかを確認する際に、余分な共通因数が問題となり、正しい解が求められない可能性があります。特に有理数解を求める際に、方程式の係数に対して約分を行うことがあるため、nとmが互いに素であることは、解が真に有理数であるための条件です。

まず、方程式3x^3-(a+1)x^2-4x+a=0において、有理数解が存在するためには、有理数解の候補を整数n/mとした場合に、分母mと分子nが互いに素である必要があります。これにより、解が本当に有理数であることが保証されます。

有理数解を求める方法には、ラグランジュ法や有理数解の定理を用いた方法が一般的です。これらの方法では、解の候補として分数n/mを考え、さらにnとmが互いに素な整数であることを前提に解を進めます。これによって、無駄な解を省き、最適な解に辿り着けます。

問題を解くために、有理数解をn/mとおく際、nとmが互いに素でなければ、解が正しいかどうかの判定が難しくなります。したがって、解を正しく求めるためには、nとmが互いに素であることが重要な条件です。これを理解しておくことで、より効率的に問題を解くことができます。