確率変数 X の期待値と分散の計算方法

確率論の問題では、確率変数の期待値や分散を求めることがよくあります。ここでは、与えられた確率分布を使って期待値と分散を求める方法を解説します。また、変数変換を行った場合の期待値と分散の求め方についても触れます。

問題(1) 確率変数 X の期待値 E(X) と分散 V(X) の求め方

まず、与えられた確率分布表を整理しましょう。

期待値 E(X) は次のように計算できます。

E(X) = Σ X * P(X)

それぞれの値を代入すると。

E(X) = 4 * (1/6) + 5 * (1/6) + 6 * (1/6) + 7 * (1/6) + 8 * (1/6) + 9 * (1/6)

E(X) = (4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) / 6 = 39 / 6 = 6.5

次に、分散 V(X) を求めます。分散 V(X) は次の式で計算できます。

V(X) = Σ (X – E(X))^2 * P(X)

これを計算すると。

V(X) = (4 – 6.5)^2 * (1/6) + (5 – 6.5)^2 * (1/6) + (6 – 6.5)^2 * (1/6) + (7 – 6.5)^2 * (1/6) + (8 – 6.5)^2 * (1/6) + (9 – 6.5)^2 * (1/6)

V(X) = (2.5^2 + 1.5^2 + 0.5^2 + 0.5^2 + 1.5^2 + 2.5^2) / 6

V(X) = (6.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 + 6.25) / 6 = 17.5 / 6 = 2.9167

したがって、期待値は6.5、分散は約2.92です。

次に、与えられた定数 a = 2 と b = 3 を使って、確率変数 Y = aX + b の期待値と分散を求めます。

期待値 E(Y) は次の式で求められます。

E(Y) = a * E(X) + b

代入すると。

E(Y) = 2 * 6.5 + 3 = 13 + 3 = 16

したがって、期待値 E(Y) は 16 です。

次に、分散 V(Y) を求めます。分散の公式は次の通りです。

V(Y) = a^2 * V(X)

代入すると。

V(Y) = 2^2 * 2.9167 = 4 * 2.9167 = 11.6668

したがって、分散 V(Y) は約 11.67 です。

このように、確率変数の期待値と分散はそれぞれの確率分布を用いて計算できます。また、変数変換を行うときは、期待値と分散の公式を使って新しい確率変数の期待値と分散を簡単に求めることができます。期待値と分散の計算は確率論の基礎となる重要なステップですので、しっかりと理解しておきましょう。