中学受験算数問題「70を割ると7あまり、110を割ると5あまる整数」の解き方

中学受験の算数で出題される、特定の条件を満たす整数を求める問題について、よりわかりやすい解き方を紹介します。この問題では、「70を割ると7あまり、110を割ると5あまる整数」を求める必要があります。まずは、問題を分解し、簡単に解く方法を学んでいきましょう。

問題の設定と最初のアプローチ

問題文にあるように、ある整数は以下の条件を満たします。

まず、これらの条件をそれぞれ式にして考えます。70で割ると7あまる整数は、70の倍数に7を足した形になります。同様に、110で割ると5あまる整数は、110の倍数に5を足した形になります。

1つ目の条件、「70で割ると7あまる」というのは、次のように表せます。

x = 70n + 7（ここで、nは整数）

2つ目の条件、「110で割ると5あまる」というのは、次のように表せます。

x = 110m + 5（ここで、mも整数）

これらの式が同じxを表していることから、70n + 7 = 110m + 5という方程式が得られます。

上記の方程式を解くために、まずは式を整理します。

70n – 110m = -2

ここで、70と110は共に10で割り切れるので、両辺を10で割ってみます。

7n – 11m = -1

この方程式を解くには、nとmの整数解を求めます。試しにn=1を代入すると。

7(1) – 11m = -1

これを解くと、m = 1となります。

n = 1、m = 1のとき、xの値を求めると。

x = 70n + 7 = 70(1) + 7 = 77

また、110で割ると5あまることを確認するために、x = 77を110で割った結果、余りは5になります。

したがって、求める整数は77です。このように、条件を満たす整数を見つけるためには、式を立てて解くことが重要です。

この問題は、最初に与えられた条件を式にして解くことで、簡単に解ける問題でした。式を使ったアプローチを理解し、整数の問題を解くための基本的な手順を覚えることが、中学受験の算数での成功につながります。