相加・相乗平均の等号成立条件と減点の理由

相加平均と相乗平均の不等式は、数学において非常に重要な役割を果たします。この不等式の特徴として、等号が成立するための条件があります。この条件を記述しないと、なぜ減点されるのかについて、詳しく解説します。

相加平均と相乗平均の不等式とは

相加平均と相乗平均の不等式は次のように表されます。

相加平均 (A) ≥ 相乗平均 (G)

この不等式は、任意の非負の数に対して成り立ちますが、等号が成立するための条件があります。この条件を理解することが、問題を解く上で非常に重要です。

等号成立の条件

相加平均と相乗平均の不等式で等号が成立するためには、すべての数が等しいという条件が必要です。具体的には、a₁ = a₂ = … = aₙ のように、すべての数が同じ場合に限り、相加平均と相乗平均は等しくなります。

この条件を記述しないと、解答が不完全であるとみなされ、減点されることがあります。

減点される理由

数学の問題では、正確な理由と条件を記述することが重要です。相加平均と相乗平均の不等式において、等号が成立するための条件を明確に示さないと、誤解を招いたり、論理が不十分と判断されることがあります。そのため、解答において等号成立の条件を明記しないことは、不完全な解答として評価され、減点される可能性が高くなります。

具体例を用いた説明

例えば、数値 4 と 4 を考えた場合、相加平均と相乗平均はどちらも 4 になります。ここで等号が成立している理由は、両方の数が等しいからです。このように、すべての数が同じである場合に限り、相加平均と相乗平均は一致します。

まとめ

相加平均と相乗平均の不等式では、等号が成立するために「すべての数が等しい」という条件が必要です。この条件を記述しないと、数学的に不完全な解答として減点されることがあります。そのため、等号成立の条件を明確に記述することが重要です。