異なるタイプのサイコロを比較したとき、その期待値の関係には数学的な一貫性があります。特に、片方のサイコロの目を「変換」した場合、期待値がどのように変化するのかは統計学で重要な概念です。ここでは、期待値の基本とともに、その関係を直感的に理解できるよう解説します。
サイコロAとサイコロBの仕様を整理する
まず、2つのサイコロの設定を確認します。サイコロAは普通の1～6の目を持つ一般的なサイコロです。一方、サイコロBは通常のサイコロの目に「2倍してから3を足す」という加工を施したものです。つまり、Bの出目は5,7,9,11,13,15となります。
このような加工が期待値にどのように影響するのかを理解することが、今回のテーマの中心になります。
期待値の基本を理解する
期待値とは「平均すると何が出るか」を示す統計の指標です。サイコロAの期待値は(1+2+3+4+5+6)/6＝3.5となります。これは、長く投げ続けると平均が3.5に近づくという意味です。期待値は結果の平均を表すため、計算のルールがとても明確です。
期待値の重要な性質のひとつに線形性があります。これは、「結果を2倍すれば期待値も2倍になる」「結果に3を足せば期待値にも3が足される」といった性質です。これが今回の問題の核心になります。
サイコロBの期待値を求める流れ
Bの出目は「Aの出目×2＋3」で作られています。統計学では、変数Xに対してY＝2X＋3と変換したとき、期待値はE(Y)=2E(X)+3になります。サイコロAの期待値が3.5なので、Bの期待値は2×3.5＋3＝10となります。
サイコロBを詳しく見ると、出目はすべてAの出目を一定の法則で変換して作られています。この変換がそのまま期待値の変換に影響するというのが、期待値の線形性の特徴です。
期待値の関係をどう説明すればよいか
今回確認するべき関係は「出目の変換が期待値の変換に対応する」ということです。サイコロBはサイコロAを元にした線形変換（2倍して3を足す）で作られているため、その期待値も全く同じ変換を受けます。つまり、期待値の間にはE(B)=2E(A)+3という関係が成立します。
この性質はサイコロに限らず、あらゆる統計データに当てはまる普遍的な法則です。期待値が単純に数値変換に従うという事実は、統計学の基礎を支える非常に重要なポイントといえます。
具体例で直感的に理解する
例えば、サイコロAで4が出たとします。サイコロBでは4×2＋3＝11が出ます。これは単に出目を変換しただけですから、平均にもその変換が対応するのは自然です。
この考え方は、身近な例にも当てはめられます。たとえば、商品の価格を一律で2倍にして、さらに手数料として3円上乗せする場合、全体の平均も必ず「元の平均×2＋3」で表されます。これは期待値の線形性と同じ構造です。
まとめ
サイコロAとサイコロBの期待値の関係は、統計学の基本法則である「期待値の線形性」によって説明できます。Aの出目を2倍して3を足したものがBの出目である以上、期待値も同じ変換を受けてE(B)=2E(A)+3という関係が必ず成立します。この性質を理解すると、確率変数の扱いがとてもわかりやすくなり、他の統計問題にも応用できるようになります。
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