この問題は、三角関数を使って方程式を解き、定数aの範囲を求める問題です。問題文にある「方程式2cos^2θ+sinθ-a=0（0°≦θ≦180°）をみたすθが2つだけあるような定数aの値の範囲を求めよ。」という課題に対して、どのように進めるのかを順を追って解説します。
1. 方程式の整理
与えられた方程式は「2cos^2θ + sinθ – a = 0」です。この方程式を解くためには、まず三角関数の恒等式を使って整理します。cos^2θ = 1 – sin^2θを使って、式をsinθのみに関する二次方程式に変形することができます。
2. 変形して二次方程式にする
まず、cos^2θを1 – sin^2θで置き換えます。この式は次のように変形できます。
2(1 – sin^2θ) + sinθ – a = 0
これを展開すると、次のようになります。
2 – 2sin^2θ + sinθ – a = 0
さらに整理すると、以下の二次方程式が得られます。
-2sin^2θ + sinθ + (2 – a) = 0
この式は、sinθに関する二次方程式です。
3. 解の個数を考える
この二次方程式が解を2つ持つためには、判別式Δが0以上である必要があります。判別式Δは次のように求められます。
Δ = b^2 – 4ac
ここで、a = -2、b = 1、c = 2 – aです。これを代入して判別式Δを計算し、解が2つある条件を求めます。
4. 判別式を使ってaの範囲を求める
判別式Δを計算すると、次のようになります。
Δ = 1^2 – 4(-2)(2 – a) = 1 + 8(2 – a) = 1 + 16 – 8a = 17 – 8a
このΔが0以上であるための条件は、次のようになります。
17 – 8a ≥ 0
これを解くと、a ≤ 17/8となります。さらに、解が2つだけであるためにはa > 1である必要があります。
5. 結論
よって、定数aが2つの解を持つためには、aの範囲は「1 < a < 17/8」となります。
このようにして、aの範囲を求めることができました。問題で与えられた条件を満たすaの範囲は、1 < a < 17/8です。
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