微分方程式y”” + 2y”’ + 3y” + 2y’ + y = 1 + x + x²の解法に挑戦します。この問題は、高次の常微分方程式であり、左辺に高次の微分が含まれています。右辺には多項式がありますが、解くためにはいくつかの方法を使用する必要があります。この記事では、問題を解くためのステップとコツを解説します。
問題の理解とアプローチ
この微分方程式は、4階の線形微分方程式です。まずは、微分方程式の形式を確認します。
y”” + 2y”’ + 3y” + 2y’ + y = 1 + x + x²
左辺はyの高次の微分から成り、右辺は多項式の形です。解法のアプローチとしては、まずは非同次の微分方程式を解くための方法である「特解」を求め、その後に「補助解」を加えることで、一般解を得ます。
補助方程式の解法
まず、同次方程式y”” + 2y”’ + 3y” + 2y’ + y = 0に対する補助方程式を解きます。これは、右辺が0となるため、定数係数の線形微分方程式の解法です。
同次方程式に対する補助方程式は次のように表されます。
r⁴ + 2r³ + 3r² + 2r + 1 = 0
この方程式の解を求めるためには、因数分解や数値解析的な手法を使います。ここでは、簡単のために解の形を記述しますが、実際には計算機を使って解くことが一般的です。
特解の求め方
次に、特解を求めます。右辺の1 + x + x²に対応する特解を仮定します。特解の形を一般的な形式で仮定し、微分方程式に代入して適切な係数を求めます。
ここでは、特解の形を次のように仮定します。
yₚ(x) = Ax² + Bx + C
この特解を元の微分方程式に代入し、A、B、Cの値を求めます。特解の求め方は、微分を適用して、元の方程式に代入して計算します。
一般解の導出
同次方程式の解と特解を組み合わせることで、元の微分方程式の一般解を得ます。一般解は、同次方程式の補助解と特解の和として表されます。
y(x) = yₕ(x) + yₚ(x)
ここで、yₕ(x)は同次方程式の解（補助解）、yₚ(x)は特解です。この解を求めた後、初期条件が与えられている場合は、それに合わせて定数を求めることができます。
まとめ
微分方程式y”” + 2y”’ + 3y” + 2y’ + y = 1 + x + x²を解くには、まず同次方程式の補助解を求め、その後に特解を求めます。特解は右辺の多項式に合わせて仮定し、最終的に一般解を得ることができます。この方法を使うことで、難解な微分方程式も効率的に解くことができます。
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