数学的帰納法は、自然数に関する命題がすべての自然数に対して成り立つことを証明する強力な方法です。しかし、同じ帰納法でも場合によって仮定の立て方が異なるため、混乱することがあります。特に「n=k, k+1のときに成り立つことを仮定する場合」と「n≦kのときに成り立つことを仮定する場合」の違いについて理解することは重要です。
数学的帰納法の基本的な流れ
数学的帰納法の基本的な流れは、次の2つのステップに分かれます。
- 1. 基本ステップ：n=1の場合に命題が成り立つことを示す。
- 2. 帰納ステップ：n=kのときに命題が成り立つと仮定し、n=k+1の場合にも命題が成り立つことを示す。
これにより、すべての自然数について命題が成り立つことが証明されます。
n=k, k+1のときに成り立つことを仮定する場合
通常の帰納法では、「n=kのときに命題が成り立つ」と仮定し、その結果を元に「n=k+1のときにも成り立つ」ことを示します。この手法では、kの任意の値について命題が成り立つことを確認する必要があるため、基本ステップで「n=1」を示し、その後でkについて帰納法を適用します。
n≦kのときに成り立つことを仮定する場合
一方で、ある場合には「n≦kのときに命題が成り立つ」と仮定し、その場合に「n=k+1に対しても命題が成り立つ」ことを示す場合があります。この方法では、n=1のみを示せば十分です。なぜなら、n≦kの範囲内で命題が成り立つと仮定するため、最初にn=1を示せば、nが1から始まるすべての自然数に対して命題が成り立つことが確認できるからです。
なぜn=1だけで十分なのか
「n≦k」の場合、n=1を証明することは、帰納法の基礎を確立するために重要です。n≦kの場合、n=1を仮定することで、k以上の値に対して帰納法を適用できるようになります。これにより、k+1に対しても成り立つことが証明でき、すべての自然数に対して命題が成立することがわかります。
まとめ
数学的帰納法では、仮定の立て方が非常に重要です。「n=k, k+1のときに成り立つことを仮定する場合」と「n≦kのときに成り立つことを仮定する場合」の違いを理解することで、帰納法を使った証明がスムーズに進みます。どちらの場合も、基本ステップとしてn=1を証明することが最初のステップです。
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