この問題では、微分方程式 x^2y” – 2y = x^3e^x を解く方法を説明します。微分方程式は、物理や工学、経済学などの多くの分野で重要な役割を果たすため、解法をしっかり理解しておくことが大切です。
1. 方程式の形を確認する
与えられた微分方程式は、次のようになります。
x^2 y” – 2y = x^3 e^x
これは、2階線形常微分方程式です。右辺には x^3 e^x という項が含まれており、これが非同次項（右辺に依存する項）です。このため、まず同次方程式と非同次方程式に分けて考えます。
2. 同次方程式を解く
まず、同次方程式を解きます。同次方程式は次のようになります。
x^2 y” – 2y = 0
これを解くためには、変数分離法や定数変化法を使用します。ここでは、解の形を予測して、y = x^m の形を試すことで解を求めます。
まず、y = x^m を代入してみます。
y’ = m x^(m-1), y” = m(m-1) x^(m-2)
これを元の方程式に代入すると、次のようになります。
x^2 m(m-1) x^(m-2) – 2 x^m = 0
これを整理すると。
m(m-1) x^m – 2 x^m = 0
ここで、x^m を共通因子として取り出すと。
(m(m-1) – 2) x^m = 0
この式から、m(m-1) – 2 = 0 という2次方程式が得られます。これを解くと、
m = 2 または m = -1
したがって、同次方程式の解は次のようになります。
y_h = c_1 x^2 + c_2 x^(-1)
3. 非同次方程式を解く
次に、非同次方程式 x^2 y” – 2y = x^3 e^x を解くために、定数変化法を使用します。まず、同次方程式の解に特定の解を加えます。試行解の形を y_p = A x^3 e^x と仮定します。
これを元の方程式に代入して、A を求めます。まず、y_p = A x^3 e^x の1階および2階微分を求めます。
y_p’ = A (3x^2 e^x + x^3 e^x)
y_p” = A (6x e^x + 6x^2 e^x + x^3 e^x)
これを元の方程式に代入し、A を求めると、最終的に A = 1/8 となります。したがって、特解は。
y_p = (1/8) x^3 e^x
4. 解全体の表現
したがって、元の微分方程式の解は、同次解と特解の和として次のように表されます。
y = c_1 x^2 + c_2 x^(-1) + (1/8) x^3 e^x
5. 結論
このように、微分方程式 x^2 y” – 2y = x^3 e^x を解くには、同次方程式の解を求め、その後定数変化法を用いて非同次方程式の解を求めます。最終的な解は、y = c_1 x^2 + c_2 x^(-1) + (1/8) x^3 e^x となります。
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