微分方程式 y'' + 2ay' + y = bcos(wx) の解法

この問題では、微分方程式 y” + 2ay’ + y = bcos(wx) を解く方法を説明します。ここで、aは定数であり、bとは与えられた定数です。この方程式は、強制振動の問題に関連しており、線形常微分方程式として解くことができます。

1. 同次方程式の解を求める

まず、同次方程式 y” + 2ay’ + y = 0 を解きます。この方程式は、特性方程式を使って解くことができます。特性方程式は。

r^2 + 2ar + 1 = 0

この2次方程式を解くと、次の2つの解が得られます。

r = -a ± √(a^2 – 1)

この解の形によって、同次方程式の解の一般形が決まります。a^2 – 1の符号によって、解の性質が変わるため、まずこの判別式を調べます。

判別式 a^2 – 1 が正の場合、解は異なる実数解を持ちます。負の場合、解は複素数解となります。さらに、a^2 – 1 = 0 の場合は、重解を持つことになります。

このとき、同次方程式の解は次のようになります。

y_h = e^(-at)(c_1 cos(√(1 – a^2) t) + c_2 sin(√(1 – a^2) t))

ここで、c_1 と c_2 は定数です。

次に、非同次方程式 y” + 2ay’ + y = bcos(wx) に対する特解を求めます。ここでは、特解の形を y_p = A cos(wx) + B sin(wx) と仮定し、代入して係数を求めます。

まず、y_p” と y_p’ を求め、これを元の方程式に代入します。計算すると、特解の係数 A と B が求まります。

同次方程式と非同次方程式の解を合わせて、元の微分方程式の一般解を得ます。この解は次のようになります。

y(t) = e^(-at)(c_1 cos(√(1 – a^2) t) + c_2 sin(√(1 – a^2) t)) + A cos(wx) + B sin(wx)

したがって、この微分方程式の解は、同次解と特解の和として求められます。ここで、A と B の値は、与えられた初期条件や境界条件に基づいて決定されます。