この問題では、一次関数の交点を使って三角形の面積を求める方法と、その三角形を2等分する直線の式を求める問題です。まずは問題の理解から始め、解法のステップを順を追って解説します。
問題の概要
与えられた一次関数の式は以下の通りです。
- ①: y = x + 5
- ②: y = 2x + 1
- ③: y = -1/2x – 4
これらの直線の交点を使って三角形ABCを作り、その面積を求めます。また、点Cを通り、この三角形を2等分する直線の式も求めます。
（ア）△ABCの面積を求める
まず、各交点を求めます。
交点A
直線①と②の交点Aを求めます。式①と②を連立させて解くと。
x + 5 = 2x + 1 から、x = 4となります。y = x + 5に代入してy = 9。したがって、A(4, 9)です。
交点B
次に、直線②と③の交点Bを求めます。式②と③を連立させて解くと。
2x + 1 = -1/2x – 4 から、x = -2となります。y = 2x + 1に代入してy = -3。したがって、B(-2, -3)です。
交点C
最後に、直線③と①の交点Cを求めます。式①と③を連立させて解くと。
x + 5 = -1/2x – 4 から、x = -6となります。y = x + 5に代入してy = -1。したがって、C(-6, -1)です。
三角形ABCの面積
交点A(4, 9), B(-2, -3), C(-6, -1)が与えられたので、三角形ABCの面積は次の式で求めます。
面積 = 1/2 × |x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)|
これを代入すると、面積 = 1/2 × |4(-3 – (-1)) + (-2)(-1 – 9) + (-6)(9 – (-3))| = 30
（イ）△ABCの面積を2等分する直線の式
次に、点Cを通り、△ABCの面積を2等分する直線の式を求めます。まず、三角形の重心を求めます。
重心Gの座標は、A, B, Cの座標の平均です。
G = ((4 + (-2) + (-6)) / 3, (9 + (-3) + (-1)) / 3) = (-4, 5)
この重心を通る直線の方程式を求めるためには、まず点C(-6, -1)と重心G(-4, 5)を通る直線を求めます。直線の傾きmは、次のように計算します。
m = (5 – (-1)) / (-4 – (-6)) = 6 / 2 = 3
直線の式は点C(-6, -1)を通るので、点Cを代入して、y + 1 = 3(x + 6)を得ます。
これを整理すると、y = 3x + 17/7となります。
まとめ
本問題では、一次関数の交点を求め、その交点を使って三角形の面積を計算しました。また、三角形を2等分する直線の式も求めました。具体的な計算を通して、どのように解法が進むのかが理解できたかと思います。
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