ベクトルの内積と角度：a, b, cの大きさと角度θを求める方法

ベクトルに関する問題で、内積の計算と角度θを求める問題はよく出題されます。今回は、ベクトルa, b, cに関する問題を解いていきます。与えられた条件「a・b = b・c = c・a = -2」と「a + b + c = 0」を使って、ベクトルa, b, cの大きさと、aとbのなす角θを求めます。

問1: a, b, cの大きさを求める

まず、与えられた条件「a・b = b・c = c・a = -2」を使って、ベクトルa, b, cの大きさを求めます。ベクトルの内積の定義により、a・b = |a||b|cos(θ)が成り立ちます。ここで、a・b = -2ですので、|a|と|b|の大きさが同じであると仮定します。

また、a + b + c = 0 という条件を利用して、ベクトルa, b, cが直線上に並ぶことを考えます。計算の結果、|a| = |b| = |c| = 2 であることがわかります。

次に、ベクトルaとbのなす角θを求めます。内積の公式を用いて、cos(θ) = (a・b) / (|a||b|) により、cos(θ) = -2 / (2 * 2) = -1/2 となります。したがって、θ = 120°であることがわかります。

ベクトルの内積の性質を利用することで、ベクトルの大きさやなす角を効率的に求めることができます。特に、a・bの値やベクトルの和が与えられる場合、内積の公式とベクトルの基本的な性質を駆使することで、問題を解くことができます。

この問題では、内積の性質とベクトルの和の条件を使って、a, b, cの大きさを求め、その後、内積からなす角θを求める方法を解説しました。内積とベクトルの関係を理解することが、ベクトル問題を解く鍵となります。