この不等式の問題では、xの範囲が0≦x≦1であるとき、aとbの範囲を求める方法と、さらにその操作をxを-xにしたとき（y軸に対する対称移動）にaとbの範囲が一致する理由について考察します。具体的にどういった理由で範囲が一致するのかを解説し、またこのような操作が一般的に成り立つのかも検討します。
不等式の理解と変形方法
まず、不等式「x-1 < x^2 + ax + b」が与えられています。ここで重要なのは、xが0≦x≦1という範囲で、この不等式が成立するaとbの範囲を求めることです。この不等式を変形すると、まず右辺を左辺に移し、次のようになります。
x^2 + ax + b – x + 1 > 0、この式を整理すると、x^2 + (a-1)x + (b+1) > 0 という形に変わります。ここで、aとbの範囲を求めるためには、2次不等式が0以上となる条件を求める必要があります。
y軸に対する対称移動の効果
次に、xを-xに変えるという操作（y軸に対する対称移動）を考えたとき、この不等式にどういった変化が生じるかを見てみましょう。xを-xにすると、式は次のように変形します。
(-x)^2 + a(-x) + b – (-x) + 1 > 0、これを整理すると、x^2 – ax + b + x + 1 > 0 となります。ここで再びaとbの範囲を求めると、元の式と同様に2次不等式の条件を求めることができます。
なぜaとbの範囲が一致するのか
xを-xに変えたときに、aとbの範囲が一致する理由は、xと-xの代入によって不等式の形が対称的になるためです。実際、元の不等式と対称移動後の不等式は、aとbの役割が入れ替わった形になりますが、範囲としては同じ条件を満たすことになります。
具体的には、aとbの値は、xの範囲0≦x≦1で不等式が成立するために必要な条件を満たす必要がありますが、xを-xに変えてもその条件は変わらず、aとbの範囲が一致するのです。
このような操作は常に成り立つのか
この操作（y軸に対する対称移動）が常に成り立つ理由は、2次不等式の解がxの符号に依存しないためです。対称移動を行った際に、元の不等式と同じ形の不等式が得られるため、aとbの範囲が一致するという特性が生じます。
まとめ
この問題では、不等式「x-1 < x^2 + ax + b」がxの範囲0≦x≦1で成立するためのaとbの範囲を求め、さらにxを-xにした際にその範囲が一致する理由について解説しました。y軸に対する対称移動が成り立つのは、2次不等式の解が対称的であり、aとbの役割が変わるだけで範囲自体は一致するからです。一般的に、このような操作は2次不等式であれば成り立ちます。
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