線形代数における固有値と固有空間の次元は、行列の性質を理解する上で非常に重要な概念です。この質問では、「固有値が1の3重根、かつその固有空間の次元が1」という特定の条件に該当する例について解説します。
固有値と固有空間とは？
固有値とは、線形変換がベクトル空間上でどのようにスケーリングを行うかを示す値です。ある行列Aに対して、ベクトルvが存在してA*v = λ*vとなるとき、λは行列Aの固有値と呼ばれます。固有空間は、対応する固有値に対してAが作用するベクトルの集合を指します。
例えば、行列がどの方向にスケーリングを行うか、あるいは方向を変えずに変換を行う場合、その方向のベクトルは固有ベクトルであり、そのスケーリングの大きさが固有値です。
固有値1(3重根)と固有空間の次元1の関係
固有値が1の3重根ということは、固有値1が3回現れるという意味です。しかし、固有空間の次元が1という条件がついている場合、固有値1に対応する固有ベクトルの数は1つだけで、その他の2つの固有ベクトルは線形従属である必要があります。この状況は、ジョルダン標準形を考えると理解しやすくなります。
ジョルダン標準形とその解釈
ジョルダン標準形は、行列がその固有値に対応するブロックに分解される方法です。固有値1が3重根であり、固有空間の次元が1である場合、その行列はジョルダン標準形で次のようになります。
J = [1 1 0; 0 1 1; 0 0 1]
この行列では、固有値1が3回現れ、固有空間は次元1となります。この形態では、1つの固有ベクトルしか得られず、他の2つのベクトルは線形従属の関係にあります。具体的には、これらのベクトルはジョルダンチェーンと呼ばれる特殊な形式になります。
固有空間の次元1とは？
固有空間の次元が1であるとは、対応する固有ベクトルが1つしかないことを意味します。これにより、行列が示す変換が1方向に対してのみ拡大または縮小を行い、その方向に沿って変換されるベクトル空間が一意に決定されます。これを数学的に説明するためには、固有ベクトルの計算とその線形独立性について理解する必要があります。
まとめ
固有値が1の3重根、かつ固有空間の次元が1となる3×3行列の例として、ジョルダン標準形を使用することが有効です。この状況では、固有空間に対応するベクトルが1つしか存在せず、他のベクトルは線形従属の関係にあります。このような行列の特徴を理解することで、線形代数の深い部分に踏み込むことができ、さらに高度な問題にも対応できるようになります。
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