極方程式とr<0の解釈：放物線の解析とその理由

極方程式では、rが負の値を取る場合もあり、この特性がxy直交座標系における図形の解釈に影響を与えます。特に放物線などの解析では、r<0がどのように扱われるべきかを理解することが重要です。この記事では、極座標でのr<0の解釈と放物線の方程式への適用について解説します。

極座標と直交座標系の関係

極座標系では、点の位置はr（半径）とθ（角度）で表されますが、rは通常0以上の値で考えます。しかし、r<0となる場合もあり、これは直交座標系での点と反対側に位置する点を表します。このため、極方程式では同じ直交座標系の方程式が2通りに表現できることがあります。

例えば、直交座標系での放物線の方程式はy^2 = 4pxですが、極座標系ではrとθを使って表現されます。このように、r<0の値を取ることで、反対側の点が含まれ、2通りの解が得られることになります。

放物線の極座標での表現

放物線y^2 = 4pxを極座標で表現する場合、焦点F(p, 0)を極として、放物線上の点P(x, y)をrとθを使って次のように表します。

x = p + rcosθ, y = rsinθ

この式を放物線の方程式に代入すると、r^2sin^2θ = 4p(p + rcosθ)となり、整理すると以下のようになります。

(sin^2θ)r^2 – (4pcosθ)r – 4p^2 = 0

r

r<0の解釈について重要な点は、放物線の方程式を解いたときに得られるrの2つの解のうち、どちらを採用するかです。解として、r = 2p/(1 - cosθ) または r = -2p/(1 + cosθ) という2つの解が得られますが、実際にはrが負の値を取る解は放物線上の実際の点を表さない場合があります。

実際には、放物線の方程式においてr<0の解は放物線の反対側を表すため、物理的には意味を持たないことが多く、このためr > 0の解のみを採用することが一般的です。

解の選択について

r = 2p/(1 – cosθ)の解が正しい理由は、放物線上の点が焦点からどの方向に位置するかに関係しています。rが負の値である場合、それは放物線の反対側の点を意味するため、通常はr > 0の解を選択します。負の解は理論的には可能ですが、実際の座標系では意味を持たないことが多いです。

まとめ

極方程式でr < 0の解を扱う際、直交座標系で同じ方程式が2通りに表せることがありますが、物理的な意味を持つ解は通常r > 0であることが多いです。放物線の解析では、r < 0の解が反対側の点を示すため、実際には正の解のみを採用します。このような理解を深めることで、極座標の扱い方や解の選択について明確に理解できるようになります。