手計算で解けるK=2^a・b^2の問題：Sの最小値と最大値を求める方法

この問題では、K = 2^a・b^2という式で表される整数Kを、1以上S以下の整数で表せる個数が100個になるようなSの最小値と最大値を求めるというものです。ここでは、手計算で解ける方法を解説します。

問題の整理と式の理解

まず、式K = 2^a・b^2の意味を整理しましょう。ここで、aとbは共に正の整数であり、bは2のべき乗以外の任意の整数として考えます。Kはこのような形で表される整数です。この式で、1以上S以下の整数でKを表すことができる数が100個になるSを求めるのが問題の目的です。

K = 2^a・b^2という形を持つ整数は、2のべき乗と平方数の積であるという特徴があります。例えば、a = 3, b = 2の場合、K = 2^3・2^2 = 8・4 = 32となります。このような形でKが決まります。

したがって、Kが表せる整数の個数を数えるためには、aとbの組み合わせを考える必要があります。

次に、K = 2^a・b^2の形で1以上S以下の整数が何個存在するかを数えます。ここでは、aとbがどのように組み合わさるかを調べることで、Kの候補を求めます。具体的には、Sの範囲内でKがどのように表されるかをチェックします。

まず、aの値を1から上げていき、各aに対してbの平方数を使ってKを求めます。これにより、KがS以下であるようなaとbの組み合わせを探し、100個になるSの値を求めることができます。

Sの最小値を求めるためには、Kが1から順に100個の異なる整数を表すSの範囲を見つけます。同様に、Sの最大値は、Kの個数が100個に達するSの範囲の上限を求めます。手計算では、aとbの組み合わせを順番に計算し、100個に達するSを見つけます。

この問題では、K = 2^a・b^2の形で表される整数の個数が100個になるような最小値と最大値を手計算で求める方法を示しました。aとbの組み合わせを順に計算し、Sの範囲を決定することで解答が得られます。実際に計算を行いながら、必要な範囲のSを見つけることで、問題を解決できます。