この問題は、場合の数と確率に関する基本的な理解を要するものです。赤玉6個と白玉3個が入った袋から玉を1個取り出し、色を見てから袋に戻すという操作を6回行う際、3度目の白玉が6回目に出る確率を求める問題です。
1. 問題の設定と理解
袋に赤玉6個、白玉3個が入っています。1回ごとに玉を1個引いて袋に戻すという操作を繰り返し、6回目に白玉が3度目に出る確率を求めます。この問題では、「白玉が何回目に出るか」と「何回目に白玉が出るか」という条件を組み合わせて考える必要があります。
2. 確率を求めるためのアプローチ
この問題の解法は、まず白玉が何回目に出るかという条件を満たす場合の数を求め、それに基づいて確率を計算します。1回の試行における白玉が出る確率は、3個の白玉と6個の赤玉があるため、白玉が出る確率は3/9（または1/3）です。
3. 白玉が6回目で3度目に出る場合の計算方法
この場合、白玉が3回目に出るのは、6回中の5回目までに2回白玉が出る必要があります。したがって、5回の試行の中で白玉が2回出る確率を計算し、最後の6回目で白玉が出る確率を掛け算します。具体的には、組み合わせの式を使って計算します。
まず、5回の中で白玉が2回出る場合の数は、5回の中から2回を選ぶ組み合わせで、これは「5C2」となり、計算すると10通りです。そして、白玉が2回出る確率は(1/3)^2 × (2/3)^3です。最後に、6回目に白玉が出る確率(1/3)を掛け合わせて、最終的な確率を求めます。
4. 結果と確率の最終計算
確率の計算は、以下のようになります。
- 白玉が2回出る確率：10 × (1/3)^2 × (2/3)^3 = 10 × (1/9) × (8/27) = 80/243
- 6回目に白玉が出る確率：1/3
したがって、3度目の白玉が6回目に出る確率は、80/243 × 1/3 = 80/729 となります。
5. まとめ
このように、場合の数と確率の問題では、条件に応じて場合分けを行い、確率を計算していくことが重要です。確率を求めるには、まず全体のパターンを把握し、次に必要な条件に従って計算する方法を身につけましょう。
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