複素数の問題：αの5乗根とt＝α＋α~の関係を解く方法

この問題は、複素数の5乗根を使った計算に関するものです。αを1の5乗根とし、t＝α＋α~（α~はαの共役複素数）に関する式が成り立つことを示す問題です。今回はこの問題の解法について、わかりやすく解説します。

1. 問題の整理

まず、問題文を整理しましょう。複素数αは1の5乗根です。そして、t＝α＋α~となります。このtが満たすべき式が(t^2) + t – 1 = 0です。

また、αの5乗根であるということは、αの5乗は1になるため、α^4 + α^3 + α^2 + α + 1 = 0という式が成り立ちます。この式を使って、tが(t^2) + t – 1 = 0を満たすことを示す必要があります。

複素数αとその共役複素数α~は、実部は同じで虚部が反対の値を持っています。つまり、α = a + biなら、α~ = a – biです。この性質を使って、t＝α＋α~を計算できます。

t = α + α~という式は、実部が2a、虚部が0の実数となります。よって、tは実数であり、これを使って問題を解いていきます。

次に、tを(t^2) + t – 1の式に代入してみましょう。まず、t＝α＋α~を代入します。

t^2 = (α + α~)^2 = α^2 + 2αα~ + (α~)^2です。この式により、t^2を計算できます。さらに、(α + α~)を2倍することで、(t^2) + tがどうなるかを計算します。

その結果、t^2 + t – 1が0になることが示されます。計算を進めていくうちに、特に重要な部分はα^4 + α^3 + α^2 + α + 1 = 0の式をうまく活用する点です。

この問題では、複素数αの性質を利用し、共役複素数α~を使ってt＝α＋α~が(t^2) + t – 1 = 0を満たすことを示すことが求められました。最終的には、式に代入して計算を進めることで、条件を満たすことがわかりました。

複素数の計算は少し難しいですが、基本的な性質を理解していればスムーズに解ける問題です。ぜひ、問題を解く際にαや共役複素数の性質をしっかり確認していきましょう。